题目

Problem

The continuous random variable $X$ has probability density function f given by

f(x) = \begin{cases} \dfrac{3}{28}\big(e^{\frac{1}{2}x} + 4e^{-\frac{1}{2}x}\big), & 0 \leq x \leq 2\ln 3,\\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases}

(a) Find the cumulative distribution function of $X$ .

[3]

The random variable $Y$ is defined by $Y = e^{\frac{1}{2}X}$ .

(b) Find the probability density function of $Y$ .

[3]

(d) Find $\mathrm{E}(Y^4)$ .

[2]

题目中文翻译

连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 f 定义如下：

f(x) = \begin{cases} \dfrac{3}{28}\big(e^{\frac{1}{2}x} + 4e^{-\frac{1}{2}x}\big), & 0 \leq x \leq 2\ln 3,\\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases}

(a) 求 $X$ 的累积分布函数。

随机变量 $Y$ 定义为 $Y = e^{\frac{1}{2}X}$ 。

(b) 求 $Y$ 的概率密度函数。

(d) 求 $\mathrm{E}(Y^4)$ 。

CIE 9231 2023 June Paper 41 Q6