题目

Problem

6. The parabola $C$ has Cartesian equation $y^2 = 8x$

The point $P(2p^2, 4p)$ and the point $Q(2q^2, 4q)$ , where $p, q \neq 0$ , $p \neq q$ , are points on $C$ .

(a) Show that an equation of the normal to $C$ at $P$ is

$y + px = 2p^3 + 4p$

(5)

(b) Write down an equation of the normal to $C$ at $Q$

(1)

The normal to $C$ at $P$ and the normal to $C$ at $Q$ meet at the point $N$

$(2(p^2 + pq + q^2 + 2), \ -2pq(p + q))$

(5)

The line $ON$ , where $O$ is the origin, is perpendicular to the line $PQ$

(d) Find the value of $(p + q)^2 - 3pq$

(5)

题目中文翻译

点 $P(2p^2, 4p)$ 和点 $Q(2q^2, 4q)$ 在 $C$ 上，其中 $p, q \neq 0$ ， $p \neq q$ 。

(a) 证明 $C$ 在 $P$ 处的法线方程为

$y + px = 2p^3 + 4p$

(b) 写出 $C$ 在 $Q$ 处的法线方程。

$C$ 在 $P$ 处的法线和 $C$ 在 $Q$ 处的法线相交于点 $N$

$(2(p^2 + pq + q^2 + 2), \ -2pq(p + q))$

$ON$ （其中 $O$ 为原点）垂直于 $PQ$

(d) 求 $(p + q)^2 - 3pq$ 的值。

IAL 2021 June FP1 Q6