题目

Problem

The hyperbola $H$ has equation $xy = c^2$ where $c$ is a positive constant.

The point $P\left(ct, \frac{c}{t}\right)$ , where $t > 0$ , lies on $H$ .

The tangent to $H$ at $P$ meets the $x$ -axis at the point $A$ and meets the $y$ -axis at the point $B$ .

(a) Determine, in terms of $c$ and $t$ ,

(i) the coordinates of $A$ ,

(ii) the coordinates of $B$ .

(4)

Given that the area of triangle $AOB$ , where $O$ is the origin, is $90$ square units,

(b) determine the value of $c$ , giving your answer as a simplified surd.

(2)

题目中文翻译

双曲线 $H$ 的方程为 $xy = c^2$ ，其中 $c$ 为正常数。

点 $P\left(ct, \frac{c}{t}\right)$ （其中 $t > 0$ ）在 $H$ 上。

$H$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ 。

(a) 用 $c$ 和 $t$ 表示确定：

(i) $A$ 的坐标，

(ii) $B$ 的坐标。

已知三角形 $AOB$ 的面积为 $90$ 平方单位，其中 $O$ 为原点，

(b) 确定 $c$ 的值，答案以最简根式表示。

IAL 2024 Jan FP1 Q3