IAL 2025 May FP1 Q4 | 國際數學站

Question

[!problem]

The rectangular hyperbola $C$ has equation $xy = 81$

The point $P\left(9t, \dfrac{9}{t}\right)$ , $t \neq 0$ , lies on $C$ .

(a) Use calculus to show that the normal to $C$ at $P$ has equation

$ty = t^3x + 9(1 - t^4)$

(4)

The normal to $C$ at $P$ meets the $y$ -axis at the point $A$ .

(b) Determine the exact coordinates of $A$ in terms of $t$ .

(2)

Given that $t = \dfrac{1}{3}$

(c) find the exact area of triangle $OPA$ , where $O$ is the origin.

(2)

中文翻译

等轴双曲线 $C$ 的方程为 $xy = 81$

点 $P\left(9t, \dfrac{9}{t}\right)$ ， $t \neq 0$ ，在 $C$ 上。

(a) 用微积分方法证明 $C$ 在 $P$ 处的法线方程为

$ty = t^3x + 9(1 - t^4)$

(4)

$C$ 在 $P$ 处的法线与 $y$ 轴相交于点 $A$ 。

(b) 用 $t$ 表示，求点 $A$ 的精确坐标。

(2)

已知 $t = \dfrac{1}{3}$

(c) 求三角形 $OPA$ 的精确面积，其中 $O$ 为原点。

(2)