IAL 2026 Jan A FP1 Q7 | 國際數學站

Question

[!problem]

$f(x) = 30 - \dfrac{7}{x^5}$ , $x > 0$

The only real root, $\alpha$ , of the equation $f(x) = 0$ lies in the interval $[2, 2.1]$ .

(a) Starting with the interval $[2, 2.1]$ , use interval bisection twice to find an interval of width 0.025 that contains $\alpha$ .

(4)

(b) Find $f'(x)$ .

(2)

(c) Taking 2 as a first approximation to $\alpha$ , apply the Newton-Raphson process once to $f(x)$ to find a second approximation to $\alpha$ , giving your answer to 2 decimal places.

(2)

中文翻译

$f(x) = 30 - \dfrac{7}{x^5}$ ， $x > 0$

方程 $f(x) = 0$ 的唯一实根 $\alpha$ 在区间 $[2, 2.1]$ 内。

(a) 从区间 $[2, 2.1]$ 开始，使用区间二分法两次，找到宽度为 0.025 且包含 $\alpha$ 的区间。

(4)

(b) 求 $f'(x)$ 。

(2)

(c) 取 2 作为 $\alpha$ 的初始近似值，对 $f(x)$ 应用一次牛顿-拉夫森过程求 $\alpha$ 的第二个近似值，答案精确到 2 位小数。

(2)