IAL 2026 Jan FP1 Q6 | 國際數學站

Question

[!problem]

$f(x) = x^2 - qx + r$

where $q, r \in \mathbb{Z}$ .

The equation $f(x) = 0$ has roots $\alpha$ and $\beta$ .

(a) Write down, in terms of $q$ or $r$

(i) $\alpha + \beta$

(ii) $\alpha\beta$

(1)

Given that $\dfrac{1}{\alpha - 2} + \dfrac{1}{\beta - 2} = \dfrac{1}{2}$ and $\dfrac{1}{(\alpha - 2)^2} + \dfrac{1}{(\beta - 2)^2} = \dfrac{5}{2}$

(b) without finding $\alpha$ or $\beta$ , show that

$r^2 + br + c = 0$

where $b$ and $c$ are integers to be determined.

(3)

(c) Hence determine the two possible functions $f(x)$ .

(3)

中文翻译

$f(x) = x^2 - qx + r$

其中 $q, r \in \mathbb{Z}$ 。

方程 $f(x) = 0$ 有根 $\alpha$ 和 $\beta$ 。

(a) 用 $q$ 或 $r$ 写出

(i) $\alpha + \beta$

(ii) $\alpha\beta$

(1)

已知 $\dfrac{1}{\alpha - 2} + \dfrac{1}{\beta - 2} = \dfrac{1}{2}$ 且 $\dfrac{1}{(\alpha - 2)^2} + \dfrac{1}{(\beta - 2)^2} = \dfrac{5}{2}$

(b) 不求 $\alpha$ 或 $\beta$ ，证明

$r^2 + br + c = 0$

其中 $b$ 和 $c$ 是待确定的整数。

(3)

(c) 由此确定两个可能的函数 $f(x)$ 。

(3)