题目

Problem

(a) Determine the general solution of the differential equation

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - 8\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 16y ={}& 48x^2 - 34 \end{align*}

(5)

Given that $y = 4$ and $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 21$ at $x = 0$

(b) determine the particular solution of the differential equation.

(4)

(c) Hence find the value of $y$ at $x = -2$ , giving your answer in the form $p\mathrm{e}^q + r$ where $p$ , $q$ and $r$ are integers to be determined.

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

这是二阶常系数非齐次微分方程。先解辅助方程得到 complementary function，再因为右边是二次多项式，设 particular integral 为二次多项式。

答题过程

展开

The auxiliary equation is

\begin{align*} m^2-8m+16=0 \end{align*}

Hence

\begin{align*} (m-4)^2={}&0\\[4mm] m={}&4 \end{align*}

So the complementary function is

\begin{align*} y_c=(A+Bx)\mathrm{e}^{4x} \end{align*}

For a particular integral, let

\begin{align*} y_p=\lambda x^2+\mu x+\nu \end{align*}

Then

\begin{align*} y_p'={}&2\lambda x+\mu\\[4mm] y_p''={}&2\lambda \end{align*}

Substitute into the differential equation:

\begin{align*} 2\lambda -8(2\lambda x+\mu) +16(\lambda x^2+\mu x+\nu) ={}& 48x^2-34\\[4mm] 16\lambda x^2 +(-16\lambda+16\mu)x +(2\lambda-8\mu+16\nu) ={}& 48x^2-34 \end{align*}

Equating coefficients gives

\begin{align*} 16\lambda={}&48\\[2mm] -16\lambda+16\mu={}&0\\[2mm] 2\lambda-8\mu+16\nu={}&-34 \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \lambda={}&3\\[2mm] \mu={}&3\\[2mm] 2(3)-8(3)+16\nu={}&-34\\[2mm] 16\nu={}&-16\\[2mm] \nu={}&-1 \end{align*}

\begin{align*} y_p=3x^2+3x-1 \end{align*}

The general solution is

\begin{align*} \boxed{ y=(A+Bx)\mathrm{e}^{4x}+3x^2+3x-1 } \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先用 $y(0)=4$ 求 $A$ 。再对通解求导，用 $y'(0)=21$ 求 $B$ 。指数部分求导时要用乘积法则。

答题过程

展开

Using $y=4$ at $x=0$ ,

\begin{align*} 4 ={}& (A+0)\mathrm{e}^{0}+3(0)^2+3(0)-1\\[4mm] 4={}&A-1\\[4mm] A={}&5 \end{align*}

Differentiate the general solution:

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} ={}& B\mathrm{e}^{4x} +4(A+Bx)\mathrm{e}^{4x} +6x+3 \end{align*}

Using $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=21$ at $x=0$ ,

\begin{align*} 21 ={}& B+4A+3\\[4mm] 21 ={}& B+4(5)+3\\[4mm] B={}&-2 \end{align*}

Therefore the particular solution is

\begin{align*} \boxed{ y=(5-2x)\mathrm{e}^{4x}+3x^2+3x-1 } \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

这题的 “Hence” 表示直接使用 (b) 的 particular solution，把 $x=-2$ 代入即可。最后要整理成 $p\mathrm{e}^q+r$ 。

答题过程

展开

Substitute $x=-2$ into the particular solution:

\begin{align*} y ={}& (5-2(-2))\mathrm{e}^{4(-2)} +3(-2)^2+3(-2)-1\\[4mm] ={}& 9\mathrm{e}^{-8}+12-6-1\\[4mm] ={}& \boxed{9\mathrm{e}^{-8}+5} \end{align*}

So $p=9$ , $q=-8$ and $r=5$ .

IAL 2023 June Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程