题目

Problem

\begin{align*} y=(1-3x)^A+\mathrm{e}^{Bx} \end{align*}

where $A$ and $B$ are non-zero constants.

(a) Determine $\dfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}$ in terms of $A$ , $B$ and $x$ .

(3)

Given that the Maclaurin series expansion for $y$ in ascending powers of $x$ , up to and including the term in $x^3$ , is

\begin{align*} y=2+kx^3 \end{align*}

where $k$ is a constant,

(b) determine the value of $A$ and the value of $B$ .

(4)

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

连续三次求导即可。注意 $(1-3x)^A$ 每求导一次都会多乘一个 $-3$ ，指数也会递减 $1$ 。

答题过程

展开

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} ={}& -3A(1-3x)^{A-1}+B\mathrm{e}^{Bx} \\[3mm] \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} ={}& 9A(A-1)(1-3x)^{A-2} +B^2\mathrm{e}^{Bx} \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3} ={}& -27A(A-1)(A-2)(1-3x)^{A-3} +B^3\mathrm{e}^{Bx} \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

Maclaurin 展开是 $2+kx^3$ ，说明 $x$ 项和 $x^2$ 项系数都为 $0$ ，也就是 $y'(0)=0$ 、 $y''(0)=0$ 。这样可以直接建立两个方程。

答题过程

展开

Since

\begin{align*} y=2+kx^3 \end{align*}

up to the term in $x^3$ , there is no term in $x$ and no term in $x^2$ . Hence

\begin{align*} y'(0)=0, \qquad y''(0)=0 \end{align*}

Using $y'(0)=0$ ,

\begin{align*} -3A+B=0 \quad\Longrightarrow\quad B=3A \end{align*}

Using $y''(0)=0$ ,

\begin{align*} 9A(A-1)+B^2=0 \end{align*}

Substitute $B=3A$ :

\begin{align*} 9A(A-1)+9A^2 ={}&0\\[3mm] 18A^2-9A ={}&0\\[3mm] 9A(2A-1) ={}&0 \end{align*}

Since $A$ is non-zero,

\begin{align*} A=\frac12 \end{align*}

Therefore

\begin{align*} B=3A=\frac32 \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以直接展开两个函数。因为题目已经给出展开式没有 $x$ 项和 $x^2$ 项，所以比较这两个系数即可。

答题过程

展开

Using binomial and exponential expansions,

\begin{align*} (1-3x)^A ={}& 1-3Ax +\frac{A(A-1)}{2}(-3x)^2\\[3mm] &\,\hspace{2pt}+ \frac{A(A-1)(A-2)}{3!}(-3x)^3+\cdots \end{align*}

and

\begin{align*} \mathrm{e}^{Bx} = 1+Bx+\frac{B^2x^2}{2} +\frac{B^3x^3}{3!}+\cdots \end{align*}

So the coefficient of $x$ is $-3A+B$ . Since it is zero,

\begin{align*} -3A+B=0 \quad\Longrightarrow\quad B=3A \end{align*}

The coefficient of $x^2$ is

\begin{align*} \frac{9A(A-1)}{2}+\frac{B^2}{2} \end{align*}

Hence

\begin{align*} \frac{9A(A-1)}{2}+\frac{B^2}{2} ={}&0\\[3mm] 9A(A-1)+B^2 ={}&0 \end{align*}

Substituting $B=3A$ gives

\begin{align*} 9A(A-1)+9A^2 ={}&0\\[3mm] 9A(2A-1) ={}&0 \end{align*}

Since $A$ is non-zero,

\begin{align*} A=\frac12,\qquad B=\frac32 \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

$x^3$ 的系数等于 $\dfrac{y'''(0)}{3!}$ 。上一问已经求出 $A$ 和 $B$ ，代入第三导数即可。

答题过程

展开

From part (a),

\begin{align*} y'''(0) ={}& -27A(A-1)(A-2)+B^3 \end{align*}

Using $A=\dfrac12$ and $B=\dfrac32$ ,

\begin{align*} y'''(0) ={}& -27\left(\frac12\right) \left(-\frac12\right) \left(-\frac32\right) + \left(\frac32\right)^3\\[3mm] ={}& -\frac{81}{8}+\frac{27}{8}\\[3mm] ={}& -\frac{27}{4} \end{align*}

Since the coefficient of $x^3$ is $\dfrac{y'''(0)}{3!}$ ,

\begin{align*} k ={}& \frac{-27/4}{6}\\[3mm] ={}& -\frac98 \end{align*}

解法二

思路

展开

沿用展开式路线，直接取 $x^3$ 的系数。这样不需要再使用第三导数公式。

答题过程

展开

From the series expansions,

\begin{align*} k ={}& \frac{A(A-1)(A-2)}{3!}(-3)^3 +\frac{B^3}{3!}\\[3mm] ={}& -\frac{9}{2}A(A-1)(A-2) +\frac{B^3}{6} \end{align*}

Using $A=\dfrac12$ and $B=\dfrac32$ ,

\begin{align*} k ={}& -\frac92 \left(\frac12\right) \left(-\frac12\right) \left(-\frac32\right) + \frac{1}{6} \left(\frac32\right)^3\\[3mm] ={}& -\frac{27}{16}+\frac{9}{16}\\[3mm] ={}& -\frac98 \end{align*}

IAL 2026 Jan Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程