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IAL 2026 Jan Q7

A Level / Edexcel / FP2

IAL 2026 Jan Paper · Question 7

题目

Problem

Given that

sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\begin{align*} \sin\theta=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}} \end{align*}

(a) show that

sin⁡4θ=18(Acos⁡4θ+Bcos⁡2θ+C)\begin{align*} \sin^4\theta = \frac18(A\cos4\theta+B\cos2\theta+C) \end{align*}

where AA, BB and CC are integers to be determined.

(4)

Using cos⁡θ=sin⁡(12π−θ)\cos\theta=\sin\left(\dfrac12\pi-\theta\right) and the result from part (a),

(b) determine an expression for cos⁡4θ\cos^4\theta in terms of cos⁡4θ\cos4\theta and cos⁡2θ\cos2\theta.

(2)

(c) Hence determine

∫(sin⁡4θ+cos⁡4θ) dθ\begin{align*} \int(\sin^4\theta+\cos^4\theta)\,\mathrm{d}\theta \end{align*}
(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

把 sin⁡θ\sin\theta 的指数形式四次方展开。由于 (2i)4=16(2\mathrm{i})^4=16，最后会出现 116\dfrac1{16}。

再把成对的指数项转成余弦，例如 e4iθ+e−4iθ=2cos⁡4θ\mathrm{e}^{4\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-4\mathrm{i}\theta}=2\cos4\theta。

答题过程

展开

Using

sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i,\begin{align*} \sin\theta = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} -\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}} {2\mathrm{i}}, \end{align*}

we have

sin⁡4θ=(eiθ−e−iθ2i)4=116(eiθ−e−iθ)4\begin{align*} \sin^4\theta ={}& \left( \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} -\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}} {2\mathrm{i}} \right)^4\\[3mm] ={}& \frac{1}{16} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} -\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} \right)^4 \end{align*}

Now expand:

(eiθ−e−iθ)4=e4iθ−4e2iθ+6 −4e−2iθ+e−4iθ\begin{align*} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} -\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} \right)^4 ={}& \mathrm{e}^{4\mathrm{i}\theta} -4\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta} +6\\[3mm] &\,\hspace{2pt}-4\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\theta} +\mathrm{e}^{-4\mathrm{i}\theta} \end{align*}

Therefore

sin⁡4θ=116(e4iθ+e−4iθ−4(e2iθ+e−2iθ)+6)=116(2cos⁡4θ−8cos⁡2θ+6)=18(cos⁡4θ−4cos⁡2θ+3)\begin{align*} \sin^4\theta ={}& \frac{1}{16} \left( \mathrm{e}^{4\mathrm{i}\theta} +\mathrm{e}^{-4\mathrm{i}\theta} -4\left( \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta} +\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\theta} \right) +6 \right)\\[3mm] ={}& \frac{1}{16} \left( 2\cos4\theta-8\cos2\theta+6 \right)\\[3mm] ={}& \frac18 \left( \cos4\theta-4\cos2\theta+3 \right) \end{align*}

Hence

A=1,B=−4,C=3\begin{align*} A=1,\qquad B=-4,\qquad C=3 \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

用 cos⁡θ=sin⁡(π2−θ)\cos\theta=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)，把 (a) 中的 θ\theta 替换成 π2−θ\frac{\pi}{2}-\theta。再用余弦的周期和对称性化简。

答题过程

展开

From part (a),

sin⁡4α=18(cos⁡4α−4cos⁡2α+3)\begin{align*} \sin^4\alpha = \frac18 \left( \cos4\alpha-4\cos2\alpha+3 \right) \end{align*}

Let

α=π2−θ\begin{align*} \alpha=\frac{\pi}{2}-\theta \end{align*}

Then

cos⁡4θ=sin⁡4(π2−θ)=18[cos⁡(2π−4θ)−4cos⁡(π−2θ)+3]\begin{align*} \cos^4\theta ={}& \sin^4\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\\[3mm] ={}& \frac18 \left[ \cos(2\pi-4\theta) -4\cos(\pi-2\theta) +3 \right] \end{align*}

Since

cos⁡(2π−4θ)=cos⁡4θ,cos⁡(π−2θ)=−cos⁡2θ,\begin{align*} \cos(2\pi-4\theta)=\cos4\theta, \qquad \cos(\pi-2\theta)=-\cos2\theta, \end{align*}

we get

cos⁡4θ=18(cos⁡4θ+4cos⁡2θ+3)\begin{align*} \cos^4\theta = \frac18 \left( \cos4\theta+4\cos2\theta+3 \right) \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

把 (a)、(b) 两个式子相加，cos⁡2θ\cos2\theta 项会抵消，只剩 cos⁡4θ\cos4\theta 和常数项，然后直接积分。

答题过程

展开

Using parts (a) and (b),

sin⁡4θ+cos⁡4θ=18(cos⁡4θ−4cos⁡2θ+3) +18(cos⁡4θ+4cos⁡2θ+3)=14cos⁡4θ+34\begin{align*} \sin^4\theta+\cos^4\theta ={}& \frac18 \left( \cos4\theta-4\cos2\theta+3 \right)\\[3mm] &\,\hspace{2pt}+ \frac18 \left( \cos4\theta+4\cos2\theta+3 \right)\\[3mm] ={}& \frac14\cos4\theta+\frac34 \end{align*}

Therefore

∫(sin⁡4θ+cos⁡4θ) dθ=∫(14cos⁡4θ+34) dθ=116sin⁡4θ+34θ+C\begin{align*} \int(\sin^4\theta+\cos^4\theta)\,\mathrm{d}\theta ={}& \int \left( \frac14\cos4\theta+\frac34 \right) \,\mathrm{d}\theta\\[3mm] ={}& \frac{1}{16}\sin4\theta+\frac34\theta+C \end{align*}