题目

Problem

Determine

(i) $\int \frac{1}{3x^2 + 12x + 24}\,dx$

(ii) $\int \frac{1}{\sqrt{27 - 6x - x^2}}\,dx.$

(8)

题目中文翻译

求下列积分：

(i) $\int \frac{1}{3x^2 + 12x + 24}\,dx$

(ii) $\int \frac{1}{\sqrt{27 - 6x - x^2}}\,dx$

解答

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先从分母提出 3 并完成平方，把积分化成 $\int 1/(u^2+a^2)\,\mathrm{d}u$ 的标准反正切形式。需要同时保留提出的 $1/3$ 与公式产生的 $1/a$ 。

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Complete the square:

\begin{align*} 3x^2+12x+24 =&\,3(x^2+4x+8)\\[4mm] =&\,3\bigl((x+2)^2+4\bigr). \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \int\frac{1}{3x^2+12x+24}\,\mathrm{d}x =&\,\frac13\int \frac{1}{(x+2)^2+2^2}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\boxed{\frac16 \arctan\!\left(\frac{x+2}{2}\right)+c}. \end{align*}

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将根号内的二次式配方为 $6^2-(x+3)^2$ ，即可直接使用 $\int 1/\sqrt{a^2-u^2}\,\mathrm{d}u=\arcsin(u/a)+c$ 。

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Complete the square:

\begin{align*} 27-6x-x^2 =&\,36-(x^2+6x+9)\\[4mm] =&\,36-(x+3)^2. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \int\frac{1}{\sqrt{27-6x-x^2}}\,\mathrm{d}x =&\,\int\frac{1}{\sqrt{6^2-(x+3)^2}}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\boxed{\arcsin\!\left(\frac{x+3}{6}\right)+c}. \end{align*}