双曲线 $H$ 的方程为

直线 $l$ 的方程为 $y = mx + c$，其中 $m$ 和 $c$ 为常数。

已知 $l$ 是 $H$ 的一条切线，

(a) 证明 $25m^2 = 4 + c^2$。

(b) 因此求经过点 $(1, 2)$ 的 $H$ 的切线方程。

(c) 求每条切线与 $H$ 的切点坐标。

把直线 $y=mx+c$ 代入双曲线，得到关于 $x$ 的二次方程。直线为切线意味着只有一个交点，因此判别式必须为零；整理即可得到 $m,c$ 的关系。

Substituting $y=mx+c$ into the hyperbola gives

Multiplying by 100 and collecting powers of $x$,

For the line to be tangent, this quadratic must have a repeated root. Therefore its discriminant is zero:

Thus

Dividing by 400 gives

官方参数法令双曲线上切点为 $(5\sec t,2\tan t)$。利用参数求导求切线斜率，再从点斜式读出 $m$、$c$，最后用三角恒等式验证目标关系。

Parametrise the hyperbola by

Then

The tangent at $(5\sec t,2\tan t)$ is therefore

Hence

and

Thus

while

Therefore

经过 $(1,2)$ 给出 $m+c=2$。将 $c=2-m$ 代入 (a) 的切线条件，解关于 $m$ 的二次方程，再分别求截距 $c$。

Since the tangent passes through $(1,2)$,

so $c=2-m$. Using part (a),

Therefore

Hence

The corresponding values of $c=2-m$ are $3/2$ and $8/3$. Thus the two tangents are

and

把 (b) 的每条切线分别代回双曲线。因为它们是切线，所得二次方程应为完全平方并有重根；重根就是切点的 $x$ 坐标，再代回直线求 $y$。

For $y=\frac12x+\frac32$, substitution into the hyperbola gives

Multiplying by 400 and simplifying,

so

Thus $x=-25/3$, and

For $y=-\frac23x+\frac83$, substitution gives

Multiplying by 225 and simplifying,

so

Thus $x=25/4$, and

Therefore the points of contact are

and