$y = \ln(\tanh 2x) \qquad x > 0$

(a) 证明

其中 $p$ 为待定常数。

(b) 因此求使

成立的 $x$ 的精确值，并写成最简形式。

先用链式法则对 $\ln(\tanh 2x)$ 求导，再把 $\tanh$ 和 $\operatorname{sech}$ 写成 $\sinh$、$\cosh$。最后利用双角公式 $\sinh4x=2\sinh2x\cosh2x$ 化成题目指定的 $\operatorname{cosech}4x$。

Using the chain rule,

Therefore

官方替代解法把 $\tanh2x$ 全部改写为指数形式，并利用对数的商法则拆成两个对数后求导。合并分式即可得到同一结果。

Since

we have

Therefore

Hence

承接 (a) 的结果，把方程化为 $\sinh4x=4$，再使用反双曲正弦的对数形式。题设 $x>0$ 与所得解相符。

Using the result from part (a),

Thus

Using $\operatorname{arsinh}u=\ln(u+\sqrt{u^2+1})$,

Therefore

This value is positive, as required by $x>0$.

也可以将 $\sinh4x$ 写成指数形式。令 $u=e^{4x}$ 后得到一元二次方程；由于指数恒为正，必须舍去负根。

From $\sinh4x=4$,

Let $u=e^{4x}$, where $u>0$. Then

so

Hence

Since $4-\sqrt{17}<0$ but $u>0$, it follows that

Taking logarithms gives