题目

Problem

The matrix $A$ is given by

A = \begin{pmatrix} 2 & k & 2 \\ 2 & 2 & k \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}

where $k$ is a constant.

(a) Determine the values of $k$ for which $A$ is singular.

Given that $A$ is non-singular,

(b) find $A^{-1}$ , giving your answer in terms of $k$ .

(6)

题目中文翻译

矩阵 $A$ 定义为

A = \begin{pmatrix} 2 & k & 2 \\ 2 & 2 & k \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}

其中 $k$ 为常数。

(a) 求使 $A$ 为奇异矩阵的 $k$ 的值。

已知 $A$ 为非奇异矩阵，

(b) 用 $k$ 表示 $A^{-1}$ 。

解答

展开

矩阵奇异当且仅当其行列式为零。展开 $\det A$ ，整理成关于 $k$ 的二次方程并求根。

展开

The matrix $A$ is singular when $\det A=0$ .

Expanding along the first row,

\begin{align*} \det A =&\,2 \begin{vmatrix}2&k\\2&2\end{vmatrix} -k \begin{vmatrix}2&k\\1&2\end{vmatrix} +2 \begin{vmatrix}2&2\\1&2\end{vmatrix}\\[4mm] =&\,2(4-2k)-k(4-k)+2(4-2)\\[4mm] =&\,k^2-8k+12\\[4mm] =&\,(k-2)(k-6). \end{align*}

Therefore $\det A=0$ when

\boxed{k=2\quad\text{or}\quad k=6}.

展开

使用 $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}A$ 。先逐项计算代数余子式矩阵，再转置得到伴随矩阵；分母沿用 (a) 中求得的行列式。题设非奇异保证 $k\ne2,6$ 。

展开

The cofactors are

\begin{align*} C_{11}=&\,4-2k, & C_{12}=&\,k-4,\\[4mm] C_{13}=&\,2, & C_{21}=&\,4-2k,\\[4mm] C_{22}=&\,2, & C_{23}=&\,k-4,\\[4mm] C_{31}=&\,k^2-4, & C_{32}=&\,4-2k,\\[4mm] C_{33}=&\,4-2k. \end{align*}

Thus the cofactor matrix is

C= \begin{pmatrix} 4-2k&k-4&2\\ 4-2k&2&k-4\\ k^2-4&4-2k&4-2k \end{pmatrix}.

Therefore

\operatorname{adj}A=C^{\mathsf T} = \begin{pmatrix} 4-2k&4-2k&k^2-4\\ k-4&2&4-2k\\ 2&k-4&4-2k \end{pmatrix}.

Since $k\ne2,6$ ,

\boxed{ A^{-1} =\frac{1}{k^2-8k+12} \begin{pmatrix} 4-2k&4-2k&k^2-4\\ k-4&2&4-2k\\ 2&k-4&4-2k \end{pmatrix}}

is well-defined.