题目

Problem

(i) $f(x) = x\arccos x \qquad -1 \le x \le 1$

Find the exact value of $f'(0.5)$ .

(ii) $g(x) = \arctan(e^{2x})$

Show that

g''(x) = k\,\operatorname{sech}(2x)\tanh(2x)

where $k$ is a constant to be found.

(8)

题目中文翻译

(i) $f(x) = x\arccos x \qquad -1 \le x \le 1$

求 $f'(0.5)$ 的精确值。

(ii) $g(x) = \arctan(e^{2x})$

证明

g''(x) = k\,\operatorname{sech}(2x)\tanh(2x)

其中 $k$ 为待定常数。

解答

(i)

解法一

思路

展开

对 $x\arccos x$ 使用乘积法则，并使用反余弦的导数。代入 $x=0.5$ 后，分别利用 $\arccos(1/2)=\pi/3$ 与 $\sqrt{1-1/4}=\sqrt3/2$ 化简。

答题过程

展开

By the product rule,

\begin{align*} f'(x) =&\,\arccos x -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} f'(0.5) =&\,\arccos\bigg(\frac12\bigg) -\frac{1/2}{\sqrt{1-1/4}} \\ =&\,\frac{\pi}{3}-\frac1{\sqrt3} \\ =&\,\boxed{\frac{\pi-\sqrt3}{3}}. \end{align*}

(ii)

解法一：先化为双曲正割

思路

展开

先对反正切复合函数求导，再把所得指数分式的分子、分母同除以 $e^{2x}$ ，识别成 $\operatorname{sech}(2x)$ 。随后再次求导即可直接读出常数 $k$ 。

答题过程

展开

Using the chain rule,

\begin{align*} g'(x) =&\,\frac{2e^{2x}}{1+e^{4x}} \\ =&\,\frac{2}{e^{2x}+e^{-2x}} \\ =&\,\operatorname{sech}(2x). \end{align*}

Differentiating again,

\begin{align*} g''(x) =&\,-2\operatorname{sech}(2x) \tanh(2x). \end{align*}

Hence

\boxed{k=-2}.

解法二：直接使用商法则

思路

展开

官方替代路线保留 $g'(x)$ 的指数分式并直接使用商法则。把结果的分子、分母同乘适当的指数因子后，可拆成 $\operatorname{sech}(2x)$ 与 $\tanh(2x)$ 的乘积。

答题过程

展开

From

g'(x)=\frac{2e^{2x}}{1+e^{4x}},

the quotient rule gives

\begin{align*} g''(x) =&\,\frac{ 4e^{2x}(1+e^{4x})-8e^{6x} }{(1+e^{4x})^2} \\ =&\,\frac{4e^{2x}(1-e^{4x})} {(1+e^{4x})^2} \\ =&\,-2 \bigg(\frac{2}{e^{2x}+e^{-2x}}\bigg) \\ &\,\times \bigg(\frac{e^{2x}-e^{-2x}} {e^{2x}+e^{-2x}}\bigg) \\ =&\,-2\operatorname{sech}(2x) \tanh(2x). \end{align*}

Thus $\boxed{k=-2}$ .

IAL 2021 June FP3 Q4

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

(ii)

解法一：先化为双曲正割

思路

答题过程

解法二：直接使用商法则

思路

答题过程