设

(a) 证明当 $n \ge 2$ 时

(b) 因此，写出每一步的计算，求

的精确值。

这是官方主要路线。把 $\sec^n x$ 拆成 $\sec^{n-2}x\sec^2x$，令 $\sec^{n-2}x$ 为待求导部分、$\sec^2x$ 为待积分部分。分部积分后用 $\tan^2x=\sec^2x-1$，便能同时产生 $I_n$ 与 $I_{n-2}$。

Write

Using integration by parts with

we have

Therefore,

Hence

官方替代路线先把积分拆成 $I_{n-2}$ 与一个含 $\tan^2x$ 的积分，再只对后者分部积分。由于中间需要除以 $n-2$，这条推导适用于 $n>2$；$n=2$ 必须另行验证。

For $n>2$,

For the second integral, use integration by parts with

Then

Thus

Substituting this into the earlier expression and multiplying by $n-2$ gives

When $n=2$, the formula becomes $I_2=\tan x$, which follows directly from $\int\sec^2x\,\mathrm{d}x=\tan x$. Hence the result holds for all $n\ge2$.

为避免把不定积分常数带入递推，定义带固定上下限的 $J_n$。将 (a) 的递推式在 $0$ 与 $\pi/4$ 之间取值，依次由 $J_2$ 算出 $J_4$，再算出 $J_6$；这样完整体现题目要求的每一步。

Let

The reduction formula gives

First,

For $n=4$,

so $J_4=\frac43$.

For $n=6$,

Therefore,