题目

Problem

Figure 4 shows part of the curve with equation $y=2x^2+5$ .

Figure 4

The point $P(2,13)$ lies on the curve.

(a) Find the gradient of the tangent to the curve at $P$ .

(2)

The point $Q$ with $x$ coordinate $2+h$ also lies on the curve.

(b) Find, in terms of $h$ , the gradient of the line $PQ$ . Give your answer in simplest form.

(3)

(1)

解答

(a)

解法一

思路

展开

切线斜率就是导数在 $x=2$ 时的值。

答题过程

展开

\begin{align*} y=&\,2x^2+5,\\ \frac{dy}{dx}=&\,4x. \end{align*}

At $x=2$ ,

\begin{align*} \frac{dy}{dx}=8. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先求 $Q$ 的 $y$ 坐标，再用两点斜率公式。

答题过程

展开

For $Q$ ,

\begin{align*} y_Q=&\,2(2+h)^2+5\\ =&\,2(4+4h+h^2)+5\\ =&\,13+8h+2h^2. \end{align*}

\begin{align*} \text{gradient of }PQ =&\,\frac{(13+8h+2h^2)-13}{(2+h)-2}\\ =&\,\frac{8h+2h^2}{h}\\ =&\,8+2h. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

当 $h$ 趋近于 $0$ 时，点 $Q$ 趋近于点 $P$ ，割线 $PQ$ 的斜率趋近于切线斜率。

答题过程

展开

As $h\to0$ ,

\begin{align*} 8+2h\to8. \end{align*}

This is the gradient of the tangent at $P$ .

IAL 2019 Oct Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程