题目

Problem

Figure 2 shows the plan view of a house $ABCD$ and a lawn $APCDA$ .

Figure 2

$ABCD$ is a rectangle with $AB=16$ m.

$APCOA$ is a sector of a circle centre $O$ with radius $12$ m.

The point $O$ lies on the line $DC$ , as shown in Figure 2.

(a) Show that the size of angle $AOD$ is $1.231$ radians to 3 decimal places.

(2)

The lawn $APCDA$ is shown shaded in Figure 2.

(b) Find the area of the lawn, in $\text{m}^2$ , to one decimal place.

(4)

(3)

解答

(a)

解法一

思路

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因为 $DC=AB=16$ ，而 $OC=12$ ，所以 $OD=4$ 。在直角三角形 $AOD$ 中， $OA=12$ ，于是可以用余弦求角。

答题过程

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Since $DC=16$ and $OC=12$ ,

\begin{align*} OD=4. \end{align*}

In triangle $AOD$ ,

\begin{align*} \cos\angle AOD=&\,\frac{OD}{OA}\\ =&\,\frac{4}{12}\\ =&\,\frac13. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \angle AOD =&\,\cos^{-1}\left(\frac13\right)\\ =&\,1.2309\ldots\\ =&\,1.231 \end{align*}

to 3 decimal places.

(b)

解法一

思路

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草坪面积可以看成大扇形 $AOC$ 减去三角形 $AOD$ 。大扇形的圆心角是 $\pi+1.231\ldots$ ，因为它绕过了下方那一段弧。

答题过程

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The major angle $AOC$ is

\begin{align*} \pi+1.2309\ldots. \end{align*}

Also,

\begin{align*} AD=&\,\sqrt{12^2-4^2}\\ =&\,\sqrt{128}. \end{align*}

The area of triangle $AOD$ is

\begin{align*} \frac12(4)(\sqrt{128})=22.627\ldots. \end{align*}

So the area of the lawn is

\begin{align*} \frac{1}{2}(12)^2(\pi+1.2309\ldots)-22.627\ldots =&\,292.180\ldots\\ =&\,292.2\text{ m}^2. \end{align*}

解法二

思路

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利用整圆减去空白部分求面积的方法（Complement Method）。草坪的面积也可以用圆的面积减去未阴影的空白部分。空白部分由两部分组成：

扇形 $AOC$ 之外的较小扇形（即优角所对的劣角扇形）。劣角的大小为 $\theta = 2\pi - (\pi + 1.2309\ldots) = \pi - 1.2309\ldots$ 。
直角三角形 $AOD$ 。

因此，草坪面积可以表示为：

\begin{align*} \text{Area} = \text{Area of Circle} - \text{Area of Minor Sector} - \text{Area of } \triangle AOD \end{align*}

代入已知数据计算，同样得出 $292.2\text{ m}^2$ 。该方法展现了补集思想在几何面积求解中的妙用。

答题过程

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Alternatively, we can find the area of the lawn by subtracting the unshaded region from the total area of the circle. The unshaded region consists of the minor sector $AOC$ and the triangle $AOD$ .

The angle of the minor sector $AOC$ is:

\begin{align*} \theta = 2\pi - (\pi + 1.2309\ldots) = \pi - 1.2309\ldots \end{align*}

The area of the circle is:

\begin{align*} \text{Area}_{\text{circle}} =&\,\, \pi r^2 = \pi (12)^2 = 144\pi. \end{align*}

The area of the minor sector is:

\begin{align*} \text{Area}_{\text{minor sector}} =&\,\, \frac{1}{2}r^2\theta\\[3mm] =&\,\, \frac{1}{2}(12)^2(\pi - 1.2309\ldots)\\[3mm] =&\,\, 72(\pi - 1.2309\ldots)\\[3mm] &\approx\,\, 137.568\ldots\text{ m}^2. \end{align*}

The area of triangle $AOD$ is:

\begin{align*} \text{Area}_{AOD} =&\,\, \frac{1}{2} \cdot OD \cdot AD\\[3mm] =&\,\, \frac{1}{2}(4)(\sqrt{128})\\[3mm] &\approx\,\, 22.627\ldots\text{ m}^2. \end{align*}

Therefore, the area of the lawn is:

\begin{align*} \text{Area}_{\text{lawn}} =&\,\, \text{Area}_{\text{circle}} - \text{Area}_{\text{minor sector}} - \text{Area}_{AOD}\\[3mm] =&\,\, 144\pi - 72(\pi - 1.2309\ldots) - 22.627\ldots\\[3mm] &\approx\,\, 452.389\ldots - 137.568\ldots - 22.627\ldots\\[3mm] =&\, \,\, 292.193\ldots\\[3mm] &\approx\,\, 292.2\text{ m}^2 \end{align*}

to one decimal place.

(c)

解法一

思路

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周长由 $AB$ 、 $AD$ 和大弧 $AC$ 组成。这里 $AB=16$ ， $AD=\sqrt{128}$ ，大弧长用 $r\theta$ 。

答题过程

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The major arc length $AC$ is

\begin{align*} 12(\pi+1.2309\ldots)=52.470\ldots. \end{align*}

Therefore the perimeter is

\begin{align*} 16+\sqrt{128}+52.470\ldots =&\,79.784\ldots\\ =&\,79.8\text{ m}. \end{align*}

IAL 2020 Jan Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程