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IAL 2022 May Q3

A Level / Edexcel / P1

IAL 2022 May Paper · Question 3

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

(i) Show that

180−805\begin{align*} \frac{\sqrt{180}-\sqrt{80}}{\sqrt5} \end{align*}

is an integer and find its value.

(2)

(ii) Simplify

45−57−35\begin{align*} \frac{4\sqrt5-5}{7-3\sqrt5} \end{align*}

giving your answer in the form a+b5a+b\sqrt5 where aa and bb are rational numbers.

(3)

解答

(i)

解法一

思路

展开

把 180\sqrt{180} 和 80\sqrt{80} 都化成 5\sqrt5 的倍数，然后分子就可以合并。

答题过程

展开 180= 36⋅5=65,80= 16⋅5=45.\begin{align*} \sqrt{180}=&\,\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt5,\\ \sqrt{80}=&\,\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt5. \end{align*}

Therefore

180−805= 65−455= 255= 2.\begin{align*} \frac{\sqrt{180}-\sqrt{80}}{\sqrt5} =&\,\frac{6\sqrt5-4\sqrt5}{\sqrt5}\\ =&\,\frac{2\sqrt5}{\sqrt5}\\ =&\,2. \end{align*}

So the integer is 22.

解法二

思路

展开

利用除数分配律与根式除法法则。 我们不需要先把分子上的两个二次根式化简，而是可以直接将除以 5\sqrt{5} 分配给分子中的每一项：

a−bc=ac−bc=ac−bc\begin{align*} \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a}{c}} - \sqrt{\frac{b}{c}} \end{align*}

代入数据后，直接化为 1805−805=36−16=6−4=2\sqrt{\frac{180}{5}} - \sqrt{\frac{80}{5}} = \sqrt{36} - \sqrt{16} = 6 - 4 = 2。这种方法省去了寻找最大平方因数的过程，更为简练高效。

答题过程

展开

We can distribute the division by 5\sqrt{5} directly to each term in the numerator using the laws of surds:

180−805=  1805−805=  1805−805=  36−16=  6−4=  2.\begin{align*} \frac{\sqrt{180}-\sqrt{80}}{\sqrt5} =&\,\, \frac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}\\[3mm] =&\,\, \sqrt{\frac{180}{5}} - \sqrt{\frac{80}{5}}\\[3mm] =&\,\, \sqrt{36} - \sqrt{16}\\[3mm] =&\,\, 6 - 4\\[3mm] =&\,\, 2. \end{align*}

Since 2 is an integer, this is the required value.

(ii)

解法一

思路

展开

分母有 surd，使用共轭 7+357+3\sqrt5 有理化分母。展开分子时要慢一点，避免符号错误。

答题过程

展开 45−57−35= 45−57−35⋅7+357+35= (45−5)(7+35)72−(35)2= 285+60−35−15549−45= 25+1354= 254+1345.\begin{align*} \frac{4\sqrt5-5}{7-3\sqrt5} =&\,\frac{4\sqrt5-5}{7-3\sqrt5} \cdot\frac{7+3\sqrt5}{7+3\sqrt5}\\ =&\,\frac{(4\sqrt5-5)(7+3\sqrt5)} {7^2-(3\sqrt5)^2}\\ =&\,\frac{28\sqrt5+60-35-15\sqrt5} {49-45}\\ =&\,\frac{25+13\sqrt5}{4}\\ =&\,\frac{25}{4}+\frac{13}{4}\sqrt5. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以设结果为 a+b5a+b\sqrt5，再比较有理部分和 5\sqrt5 部分。这种方法适合检查答案。

答题过程

展开

Let

45−57−35=a+b5.\begin{align*} \frac{4\sqrt5-5}{7-3\sqrt5}=a+b\sqrt5. \end{align*}

Then

45−5= (a+b5)(7−35)= 7a−3a5+7b5−15b= (7a−15b)+(7b−3a)5.\begin{align*} 4\sqrt5-5 =&\,(a+b\sqrt5)(7-3\sqrt5)\\ =&\,7a-3a\sqrt5+7b\sqrt5-15b\\ =&\,(7a-15b)+(7b-3a)\sqrt5. \end{align*}

Compare coefficients:

7a−15b= −5,7b−3a= 4.\begin{align*} 7a-15b=&\,-5,\\ 7b-3a=&\,4. \end{align*}

Solving these simultaneous equations gives

a=254,b=134.\begin{align*} a=\frac{25}{4}, \qquad b=\frac{13}{4}. \end{align*}

Therefore

45−57−35=254+1345.\begin{align*} \frac{4\sqrt5-5}{7-3\sqrt5} =\frac{25}{4}+\frac{13}{4}\sqrt5. \end{align*}