题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

The curve $C$ has equation $y=f(x)$ , $x>0$ .

Given that

$f'(x)=\dfrac{12}{\sqrt{x}}+\dfrac{x}{3}-4$
the point $P(9,8)$ lies on $C$

(a) find, in simplest form, $f(x)$ .

(5)

The line $l$ is the normal to $C$ at $P$ .

(b) Find the coordinates of the point at which $l$ crosses the $y$ -axis.

(4)

题目中文翻译

本题必须写出完整的解题步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解答。

曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，其中 $x>0$ 。

已知：

$f'(x)=\dfrac{12}{\sqrt{x}}+\dfrac{x}{3}-4$
点 $P(9,8)$ 在曲线 $C$ 上

(a) 求 $f(x)$ ，并将答案写成最简形式。

直线 $l$ 是曲线 $C$ 在点 $P$ 处的法线。

(b) 求直线 $l$ 与 $y$ 轴交点的坐标。

解答

(a)

解法一

思路

展开

已知 $f'(x)$ ，要求 $f(x)$ ，所以积分一次。积分后要加常数 $c$ ，再用点 $P(9,8)$ 求出这个常数。

答题过程

展开

Rewrite the derivative as

\begin{align*} f'(x)=12x^{-\frac12}+\frac13x-4. \end{align*}

Integrate:

\begin{align*} f(x) =&\,\int \left(12x^{-\frac12}+\frac13x-4\right)\,\mathrm{d}x\\ =&\,24x^{\frac12}+\frac16x^2-4x+c. \end{align*}

Use $P(9,8)$ :

\begin{align*} 8 =&\,24(9)^{\frac12}+\frac16(9)^2-4(9)+c\\ =&\,24(3)+\frac{81}{6}-36+c\\ =&\,72+\frac{27}{2}-36+c\\ =&\,\frac{99}{2}+c. \end{align*}

Thus

\begin{align*} c =&\,8-\frac{99}{2}\\ =&\,-\frac{83}{2}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} f(x)=24x^{\frac12}+\frac16x^2-4x-\frac{83}{2}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先求切线斜率 $f'(9)$ ，法线斜率就是它的负倒数。然后用点 $P(9,8)$ 写出法线方程，令 $x=0$ 求 $y$ 轴截距。

答题过程

展开

At $x=9$ ,

\begin{align*} f'(9) =&\,\frac{12}{\sqrt9}+\frac93-4\\ =&\,4+3-4\\ =&\,3. \end{align*}

So the gradient of the normal is

\begin{align*} -\frac13. \end{align*}

The normal passes through $P(9,8)$ :

\begin{align*} y-8=-\frac13(x-9). \end{align*}

At the $y$ -axis, $x=0$ , so

\begin{align*} y-8=&\,-\frac13(0-9)\\ y-8=&\,3\\ y=&\,11. \end{align*}

Therefore the point is

\begin{align*} (0,11). \end{align*}

IAL 2022 Oct Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程