题目

Problem

Figure 1 shows the curve with equation $y=f(x)$ .

Figure 1

The points $P(-4,6)$ , $Q(-1,6)$ , $R(2,6)$ and $S(3,6)$ lie on the curve.

(a) Using Figure 1, find the range of values of $x$ for which

\begin{align*} f(x)<6. \end{align*}

(3)

(b) State the largest solution of the equation

\begin{align*} f(2x)=6. \end{align*}

(1)

On your sketch, state the coordinates of the points to which $P$ , $Q$ , $R$ and $S$ are transformed.

(ii) Hence find the set of values of $x$ for which

\begin{align*} f(-x)\ge6 \quad\text{and}\quad x<0. \end{align*}

(4)

解答

(a)

解法一

思路

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题目给出的四个点都在直线 $y=6$ 上。直接从图像读出曲线在 $y=6$ 下方的区间即可。

答题过程

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From the graph,

\begin{align*} f(x)<6 \end{align*}

for

\begin{align*} x<-4, \qquad -1<x<2, \qquad x>3. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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$f(2x)=6$ 表示 $2x$ 必须等于原图像中让 $f(\text{input})=6$ 的横坐标。最大的原横坐标是 $3$ ，所以 $2x=3$ 。

答题过程

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The largest input value for which $f(\text{input})=6$ is $3$ .

\begin{align*} 2x=&\,3\\ x=&\,\frac32. \end{align*}

Therefore the largest solution is

\begin{align*} \frac32. \end{align*}

(c)(i)

解法一

思路

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$y=f(-x)$ 是把 $y=f(x)$ 关于 $y$ 轴反射。每个点的 $x$ 坐标变号， $y$ 坐标不变。

答题过程

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The graph of $y=f(-x)$ is the reflection of $y=f(x)$ in the $y$ -axis.

The transformed points are

\begin{align*} P(-4,6)&\mapsto (4,6),\\ Q(-1,6)&\mapsto (1,6),\\ R(2,6)&\mapsto (-2,6),\\ S(3,6)&\mapsto (-3,6). \end{align*}

(c)(ii)

解法一

思路

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利用上一小题反射后的图像。在 $x<0$ 的左半部分，曲线在 $y=6$ 上方或等于 $6$ 的区间是从 $-3$ 到 $-2$ ，端点要包含，因为是不小于。

答题过程

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From the reflected graph, with $x<0$ ,

\begin{align*} f(-x)\ge6 \end{align*}

for

\begin{align*} -3\le x\le -2. \end{align*}

IAL 2022 Oct Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)(i)

解法一

思路

答题过程

(c)(ii)

解法一

思路

答题过程