角 $PQR$ 的顶点是 $Q$，所以要看线段 $QP$ 和 $QR$ 是否垂直。两条非竖直直线垂直时，斜率乘积为 $-1$。

Find the gradients of $PQ$ and $QR$:

Then

Therefore $PQ$ and $QR$ are perpendicular, so

也可以用勾股定理。若 $PQ^2+QR^2=PR^2$，并且这两条较短边在 $Q$ 相交，则 $Q$ 处是直角。

Calculate the squared lengths:

Since

angle $PQR$ is a right angle. Hence

向量点积为 $0$ 表示两个向量垂直。这里用从 $Q$ 出发的两个向量 $\overrightarrow{QP}$ 和 $\overrightarrow{QR}$ 最直接。

Use vectors from $Q$:

Their scalar product is

Therefore $\overrightarrow{QP}$ and $\overrightarrow{QR}$ are perpendicular, so

矩形 $PQRS$ 的顶点按顺序排列，所以从 $Q$ 到 $R$ 的位移，等于从 $P$ 到 $S$ 的位移。先求 $\overrightarrow{QR}$，再加到点 $P$ 上。

The vector from $Q$ to $R$ is

Since $PQRS$ is a rectangle,

So

Therefore

矩形的对角线互相平分。也就是说，$PR$ 和 $QS$ 有同一个中点。先求 $PR$ 的中点，再用这个中点倒推出 $S$。

The midpoint of $PR$ is

Let $S=(x,y)$. Since the midpoint of $QS$ is the same point,

Hence

So

Therefore

利用平行线与联立方程组法。 由于 $PQRS$ 构成一个矩形，其对边必须相互平行。我们可以得出：

• 直线 $PS$ 平行于 $QR$，因此它的斜率 $m_{PS} = m_{QR} = -3$。由于直线 $PS$ 经过点 $P(-3,7)$，我们可以写出直线 $PS$ 的方程。
• 直线 $RS$ 平行于 $PQ$，因此它的斜率 $m_{RS} = m_{PQ} = \frac{1}{3}$。由于直线 $RS$ 经过点 $R(12,2)$，我们可以写出直线 $RS$ 的方程。

联立直线 $PS$ 和直线 $RS$ 的方程求得交点，即为点 $S$ 的坐标。

Since $PQRS$ is a rectangle, the opposite sides are parallel.

Line $PS$ is parallel to $QR$, so its gradient is:

Using point $P(-3,7)$, the equation of line $PS$ is:

Line $RS$ is parallel to $PQ$, so its gradient is:

\begin{align*} Using point $R(12,2)$, the equation of line $RS$ is: \end{align*}

Solve the equations for line $PS$ and line $RS$ simultaneously:

\begin{align*} Substituting $x = 0$ back into $y = -3x - 2$ gives: \end{align*}

Therefore, the coordinates of $S$ are: