题目

Problem

The points $P$ , $Q$ and $R$ have coordinates $(-3,7)$ , $(9,11)$ and $(12,2)$ respectively.

(a) Prove that angle $PQR=90^\circ$ .

(3)

Given that the point $S$ is such that $PQRS$ forms a rectangle,

(b) find the coordinates of $S$ .

(2)

题目中文翻译

点 $P$ 、 $Q$ 和 $R$ 的坐标分别为 $(-3,7)$ 、 $(9,11)$ 和 $(12,2)$ 。

(a) 证明角 $PQR=90^\circ$ 。

已知点 $S$ 使得 $PQRS$ 构成一个矩形。

(b) 求点 $S$ 的坐标。

解答

(a)

解法一

思路

展开

角 $PQR$ 的顶点是 $Q$ ，所以要看线段 $QP$ 和 $QR$ 是否垂直。两条非竖直直线垂直时，斜率乘积为 $-1$ 。

答题过程

展开

Find the gradients of $PQ$ and $QR$ :

\begin{align*} m_{PQ} =&\,\frac{11-7}{9-(-3)} =\frac4{12} =\frac13,\\ m_{QR} =&\,\frac{2-11}{12-9} =\frac{-9}{3} =-3. \end{align*}

Then

\begin{align*} m_{PQ}m_{QR} =&\,\frac13(-3)\\ =&\,-1. \end{align*}

Therefore $PQ$ and $QR$ are perpendicular, so

\begin{align*} \angle PQR=90^\circ. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以用勾股定理。若 $PQ^2+QR^2=PR^2$ ，并且这两条较短边在 $Q$ 相交，则 $Q$ 处是直角。

答题过程

展开

Calculate the squared lengths:

\begin{align*} PQ^2 =&\,(9-(-3))^2+(11-7)^2\\ =&\,12^2+4^2\\ =&\,160,\\ QR^2 =&\,(12-9)^2+(2-11)^2\\ =&\,3^2+(-9)^2\\ =&\,90,\\ PR^2 =&\,(12-(-3))^2+(2-7)^2\\ =&\,15^2+(-5)^2\\ =&\,250. \end{align*}

Since

\begin{align*} PQ^2+QR^2 =&\,160+90\\ =&\,250\\ =&\,PR^2, \end{align*}

angle $PQR$ is a right angle. Hence

\begin{align*} \angle PQR=90^\circ. \end{align*}

解法三

思路

展开

向量点积为 $0$ 表示两个向量垂直。这里用从 $Q$ 出发的两个向量 $\overrightarrow{QP}$ 和 $\overrightarrow{QR}$ 最直接。

答题过程

展开

Use vectors from $Q$ :

\begin{align*} \overrightarrow{QP} =&\,\begin{pmatrix}-3-9\\7-11\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-12\\-4\end{pmatrix},\\ \overrightarrow{QR} =&\,\begin{pmatrix}12-9\\2-11\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\-9\end{pmatrix}. \end{align*}

Their scalar product is

\begin{align*} \overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QR} =&\,(-12)(3)+(-4)(-9)\\ =&\,-36+36\\ =&\,0. \end{align*}

Therefore $\overrightarrow{QP}$ and $\overrightarrow{QR}$ are perpendicular, so

\begin{align*} \angle PQR=90^\circ. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

矩形 $PQRS$ 的顶点按顺序排列，所以从 $Q$ 到 $R$ 的位移，等于从 $P$ 到 $S$ 的位移。先求 $\overrightarrow{QR}$ ，再加到点 $P$ 上。

答题过程

展开

The vector from $Q$ to $R$ is

\begin{align*} \overrightarrow{QR} =&\,\begin{pmatrix}12-9\\2-11\end{pmatrix}\\ =&\,\begin{pmatrix}3\\-9\end{pmatrix}. \end{align*}

Since $PQRS$ is a rectangle,

\begin{align*} \overrightarrow{PS}=\overrightarrow{QR}. \end{align*}

\begin{align*} S =&\,(-3,7)+(3,-9)\\ =&\,(0,-2). \end{align*}

Therefore

\begin{align*} S=(0,-2). \end{align*}

解法二

思路

展开

矩形的对角线互相平分。也就是说， $PR$ 和 $QS$ 有同一个中点。先求 $PR$ 的中点，再用这个中点倒推出 $S$ 。

答题过程

展开

The midpoint of $PR$ is

\begin{align*} \left( \frac{-3+12}{2}, \frac{7+2}{2} \right) =\left(\frac92,\frac92\right). \end{align*}

Let $S=(x,y)$ . Since the midpoint of $QS$ is the same point,

\begin{align*} \left( \frac{9+x}{2}, \frac{11+y}{2} \right) =\left(\frac92,\frac92\right). \end{align*}

Hence

\begin{align*} 9+x=&\,9, &11+y=&\,9. \end{align*}

\begin{align*} x=0, \qquad y=-2. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} S=(0,-2). \end{align*}

解法三

思路

展开

矩形的两组对边分别平行，所以 $PS\parallel QR$ ，且 $RS\parallel PQ$ 。分别写出经过 $P$ 的直线 $PS$ 和经过 $R$ 的直线 $RS$ ，再联立两条直线；它们的交点就是 $S$ 。

答题过程

展开

Since $PQRS$ is a rectangle, the opposite sides are parallel.

Line $PS$ is parallel to $QR$ , so its gradient is

\begin{align*} m_{PS}=&\,m_{QR}=-3. \end{align*}

Using the point $P(-3,7)$ , the equation of $PS$ is

\begin{align*} y-7=&\,-3\big(x-(-3)\big)\\ y-7=&\,-3x-9\\ y=&\,-3x-2. \end{align*}

Line $RS$ is parallel to $PQ$ , so its gradient is

\begin{align*} m_{RS}=&\,m_{PQ}=\frac13. \end{align*}

Using the point $R(12,2)$ , the equation of $RS$ is

\begin{align*} y-2=&\,\frac13(x-12)\\ y-2=&\,\frac13x-4\\ y=&\,\frac13x-2. \end{align*}

Solve the equations of $PS$ and $RS$ simultaneously:

\begin{align*} -3x-2=&\,\frac13x-2\\ -\frac{10}{3}x=&\,0\\ x=&\,0. \end{align*}

Substituting $x=0$ into $y=-3x-2$ gives

\begin{align*} y=&\,-3(0)-2\\ =&\,-2. \end{align*}

Therefore, the coordinates of $S$ are

\begin{align*} S=(0,-2). \end{align*}

IAL 2023 Jan Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

解法三

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

解法三

思路

答题过程