國際數學圖譜

IAL 2023 Jan Q3

A Level / Edexcel / P1

IAL 2023 Jan Paper · Question 3

题目

Problem

Find

\begin{align*} \int \frac{4x^5+3}{2x^2}\,\mathrm{d}x \end{align*}

giving your answer in simplest form.

(5)

题目中文翻译

求

\begin{align*} \int \frac{4x^5+3}{2x^2}\,\mathrm{d}x, \end{align*}

并将答案写成最简形式。

解答

解法一

思路

展开

分母是单项式，所以先把分子每一项分别除以 $2x^2$ 。这样可以把分式改写成幂函数之和，再逐项积分。

答题过程

展开

First rewrite the integrand:

\begin{align*} \frac{4x^5+3}{2x^2} =&\,\frac{4x^5}{2x^2}+\frac3{2x^2}\\ =&\,2x^3+\frac32x^{-2}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \int \frac{4x^5+3}{2x^2}\,\mathrm{d}x =&\,\int \left(2x^3+\frac32x^{-2}\right)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\frac12x^4-\frac32x^{-1}+c\\ =&\,\frac12x^4-\frac3{2x}+c. \end{align*}