题目

Problem

Given that the equation

\begin{align*} kx^2+6kx+5=0, \qquad \text{where } k \text{ is a non-zero constant} \end{align*}

has no real roots, find the range of possible values for $k$ .

(4)

解答

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二次方程没有实根时，判别式 $b^2-4ac<0$ 。这里 $a=k$ ， $b=6k$ ， $c=5$ 。最后得到的是关于 $k$ 的二次不等式，要注意题目已经说明 $k\ne0$ 。

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For the equation

\begin{align*} kx^2+6kx+5=0, \end{align*}

we have

\begin{align*} a=k, \qquad b=6k, \qquad c=5. \end{align*}

Since there are no real roots,

\begin{align*} b^2-4ac&<0\\ (6k)^2-4(k)(5)&<0\\ 36k^2-20k&<0. \end{align*}

Factorise:

\begin{align*} 4k(9k-5)&<0. \end{align*}

The critical values are

\begin{align*} k=0 \quad\text{and}\quad k=\frac59. \end{align*}

Since $4k(9k-5)<0$ between these two values,

\begin{align*} 0<k<\frac59. \end{align*}