题目

Problem

Figure 2 shows a sketch of the straight line $l$ and the curve $C$ .

Given that $l$ cuts the $y$ -axis at $-12$ and cuts the $x$ -axis at $4$ , as shown in Figure 2,

(a) find an equation for $l$ , writing your answer in the form $y=mx+c$ , where $m$ and $c$ are constants to be found.

(2)

Given that $C$

has equation $y=f(x)$ where $f(x)$ is a quadratic expression
has a minimum point at $(7,-18)$
cuts the $x$ -axis at $4$ and at $k$ , where $k$ is a constant

(b) deduce the value of $k$ ,

(1)

(3)

The region $R$ is shown shaded in Figure 2.

(d) Use inequalities to define $R$ .

(2)

题目中文翻译

图 2 展示了直线 $l$ 和曲线 $C$ 的草图。

已知直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $-12$ ，并在 $x=4$ 处与 $x$ 轴相交，如图 2 所示。

(a) 求直线 $l$ 的方程，将答案写成 $y=mx+c$ 的形式，其中 $m$ 和 $c$ 是待求常数。

已知曲线 $C$

方程为 $y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是二次表达式
最低点为 $(7,-18)$
在 $x=4$ 和 $x=k$ 处与 $x$ 轴相交，其中 $k$ 是常数

(b) 推断 $k$ 的值。

阴影区域 $R$ 如图 2 所示。

(d) 用不等式定义区域 $R$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

直线的 $y$ 轴截距是 $-12$ ，所以 $c=-12$ 。它还经过 $(4,0)$ ，可以用两个截距求斜率。

答题过程

展开

The line passes through $(0,-12)$ and $(4,0)$ , so its gradient is

\begin{align*} m =&\,\frac{0-(-12)}{4-0}\\ =&\,\frac{12}{4}\\ =&\,3. \end{align*}

Since the $y$ -intercept is $-12$ ,

\begin{align*} y=3x-12. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

二次函数的对称轴经过最低点，所以对称轴是 $x=7$ 。两个 $x$ 轴截距关于 $x=7$ 对称。已知其中一个是 $x=4$ ，另一个到 $7$ 的距离也应为 $3$ 。

答题过程

展开

The minimum point is $(7,-18)$ , so the axis of symmetry is

\begin{align*} x=7. \end{align*}

The two roots are symmetric about $x=7$ . Since one root is $x=4$ ,

\begin{align*} 7-4=3. \end{align*}

Therefore the other root is

\begin{align*} k=7+3=10. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

已知两个根是 $4$ 和 $10$ ，可以写成 $f(x)=A(x-4)(x-10)$ 。再把最低点 $(7,-18)$ 代入求 $A$ 。

答题过程

展开

Since the roots are $4$ and $10$ ,

\begin{align*} f(x)=A(x-4)(x-10). \end{align*}

Use the point $(7,-18)$ :

\begin{align*} -18=&\,A(7-4)(7-10)\\ -18=&\,A(3)(-3)\\ -18=&\,-9A\\ A=&\,2. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} f(x)=2(x-4)(x-10). \end{align*}

解法二

思路

展开

最低点是 $(7,-18)$ ，所以也可以从完成平方形式开始： $f(x)=a(x-7)^2-18$ 。再代入一个 $x$ 轴截距求 $a$ 。

答题过程

展开

Since the minimum point is $(7,-18)$ , write

\begin{align*} f(x)=a(x-7)^2-18. \end{align*}

Use the root $x=4$ :

\begin{align*} 0=&\,a(4-7)^2-18\\ 0=&\,9a-18\\ a=&\,2. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} f(x)=2(x-7)^2-18. \end{align*}

This is equivalent to

\begin{align*} f(x)=2(x-4)(x-10). \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

阴影区域在 $y$ 轴右侧、 $x=4$ 左侧，也就是 $0<x<4$ 。从图像看，它在直线之上、二次曲线之下。

答题过程

展开

The region is to the right of the $y$ -axis and to the left of $x=4$ , so

\begin{align*} 0<x<4. \end{align*}

It is above the line and below the curve, so

\begin{align*} 3x-12<y<2(x-4)(x-10). \end{align*}

Therefore the region $R$ is defined by

\begin{align*} 0<x<4, \qquad 3x-12<y<2(x-4)(x-10). \end{align*}

IAL 2023 Jan Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程