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IAL 2023 Jan Q9

A Level / Edexcel / P1

IAL 2023 Jan Paper · Question 9

题目

Problem

Figure 3 shows a sketch of

  • the curve with equation y=tan⁡xy=\tan x
  • the straight line ll with equation y=πxy=\pi x

in the interval −π<x<π-\pi<x<\pi.

Figure 3

(a) State the period of tan⁡x\tan x.

(1)

(b) Write down the number of roots of the equation

(i) tan⁡x=(π+2)x\tan x=(\pi+2)x in the interval −π<x<π-\pi<x<\pi

(1)

(ii) tan⁡x=πx\tan x=\pi x in the interval −2π<x<2π-2\pi<x<2\pi

(1)

(iii) tan⁡x=πx\tan x=\pi x in the interval −100π<x<100π-100\pi<x<100\pi

(1)

解答

(a)

解法一

思路

展开

tan⁡x\tan x 的图像每隔 π\pi 重复一次，所以周期是 π\pi。

答题过程

展开

The period of tan⁡x\tan x is

π.\begin{align*} \pi. \end{align*}

(b)(i)

解法一

思路

展开

方程的根就是图像 y=tan⁡xy=\tan x 和直线 y=(π+2)xy=(\pi+2)x 的交点数。直线斜率比图中 y=πxy=\pi x 更大，在 −π<x<π-\pi<x<\pi 内仍会有三个交点。

答题过程

展开

The equation

tan⁡x=(π+2)x\begin{align*} \tan x=(\pi+2)x \end{align*}

has

3\begin{align*} 3 \end{align*}

roots in the interval −π<x<π-\pi<x<\pi.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

在每个长度为 π\pi 的主要分支中，tan⁡x\tan x 与过原点的直线会对应地产生交点。把区间从 −π<x<π-\pi<x<\pi 扩展到 −2π<x<2π-2\pi<x<2\pi 后，会多出左右两侧分支上的交点。

答题过程

展开

The equation

tan⁡x=πx\begin{align*} \tan x=\pi x \end{align*}

has

5\begin{align*} 5 \end{align*}

roots in the interval −2π<x<2π-2\pi<x<2\pi.

(b)(iii)

解法一

思路

展开

由于 tan⁡x\tan x 的周期是 π\pi，区间 −100π<x<100π-100\pi<x<100\pi 覆盖了很多个周期。除了原点的根以外，左右两侧每个完整的正负周期位置会各给出一个对应的交点，所以总数是 2(100)+12(100)+1。

答题过程

展开

In the interval −100π<x<100π-100\pi<x<100\pi, the number of roots is

2(100)+1=201.\begin{align*} 2(100)+1=201. \end{align*}

Therefore the equation has

201\begin{align*} 201 \end{align*}

roots.