题目

Problem

Figure 1 shows the plan for a garden.

In the plan

$OA$ and $CD$ are perpendicular to $OD$
$AB$ is an arc of the circle with centre $O$ and radius $4$ metres
$BC$ is parallel to $OD$
$OD$ is $6$ metres, $OA$ is $4$ metres and $CD$ is $1.5$ metres

(a) Show that angle $AOB$ is $1.186$ radians to 4 significant figures.

(2)

(b) Find the perimeter of the garden, giving your answer in metres to 3 significant figures.

(4)

题目中文翻译

图 1 展示了一个花园的平面图。

在图中：

$OA$ 和 $CD$ 都垂直于 $OD$ ；
$AB$ 是以 $O$ 为圆心、半径为 $4$ 米的圆弧；
$BC$ 平行于 $OD$ ；
$OD$ 为 $6$ 米， $OA$ 为 $4$ 米， $CD$ 为 $1.5$ 米。

(a) 证明角 $AOB$ 为 $1.186$ 弧度（精确到 4 位有效数字）。

(b) 求花园的周长，答案以米为单位并精确到 3 位有效数字。

解答

(a)

解法一

思路

展开

点 $B$ 在半径为 $4$ 的圆上，且 $BC$ 水平，所以 $B$ 的高度与 $C$ 相同，都是 $1.5$ 。在直角三角形中， $OB=4$ ，竖直高度是 $1.5$ 。可先求 $\angle BOD$ ，再用 $\frac\pi2-\angle BOD$ 得到 $\angle AOB$ 。

答题过程

展开

Since $BC$ is parallel to $OD$ , point $B$ has height $1.5$ above $OD$ .

In the right triangle with hypotenuse $OB=4$ ,

\begin{align*} \sin\angle BOD=\frac{1.5}{4}. \end{align*}

\begin{align*} \angle AOB =&\,\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\left(\frac{1.5}{4}\right)\\ =&\,1.186\ldots\\ =&\,1.186 \end{align*}

to 4 significant figures.

(b)

解法一

思路

展开

周长由 $OA$ 、弧 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DO$ 组成。弧长用 $r\theta$ ，而 $BC$ 可由 $D$ 到 $B$ 的水平距离算出。

答题过程

展开

The arc length $AB$ is

\begin{align*} 4(1.186\ldots)=4.744\ldots. \end{align*}

The horizontal distance from $O$ to $B$ is

\begin{align*} \sqrt{4^2-1.5^2}=3.708\ldots. \end{align*}

Hence

\begin{align*} BC =&\,6-3.708\ldots\\ =&\,2.291\ldots. \end{align*}

Therefore the perimeter is

\begin{align*} 4+4.744\ldots+2.291\ldots+1.5+6 =&\,18.535\ldots\\ =&\,18.5\text{ m} \end{align*}

to 3 significant figures.

(c)

解法一

思路

展开

花园面积可以拆成扇形 $OAB$ 加上四边形 $OBCD$ 。四边形 $OBCD$ 是一个宽为 $6$ 、高为 $1.5$ 的矩形减去右上方的直角三角形。

答题过程

展开

Area of sector $OAB$ :

\begin{align*} \frac12(4)^2(1.186\ldots)=9.491\ldots. \end{align*}

For $OBCD$ , use the rectangle of area $6(1.5)$ and subtract the triangle with base $3.708\ldots$ and height $1.5$ :

\begin{align*} \text{Area of }OBCD =&\,6(1.5)-\frac12(3.708\ldots)(1.5)\\ =&\,6.218\ldots. \end{align*}

So the total area is

\begin{align*} 9.491\ldots+6.218\ldots =&\,15.710\ldots\\ =&\,15.7\text{ m}^2 \end{align*}

to 3 significant figures.

IAL 2023 May Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程