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IAL 2023 May Q6

A Level / Edexcel / P1

IAL 2023 May Paper · Question 6

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

(a) Expand and simplify

(r−1r)2.\begin{align*} \left(r-\frac1r\right)^2. \end{align*}
(2)

(b) Express 13+22\dfrac{1}{3+2\sqrt2} in the form p+q2p+q\sqrt2 where pp and qq are integers.

(2)

(c) Use the results of parts (a) and (b), or otherwise, to show that

3+22−13+22=2.\begin{align*} \sqrt{3+2\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt2}}=2. \end{align*}
(3)
题目中文翻译

本题必须写出所有计算步骤。

不接受依赖计算器技术所得的解答。

(a) 展开并化简

(r−1r)2.\left(r-\frac1r\right)^2.

(b) 将 13+22\dfrac{1}{3+2\sqrt2} 表示成 p+q2p+q\sqrt2 的形式，其中 pp 和 qq 为整数。

(c) 使用 (a) 和 (b) 的结果，或使用其他方法，证明

3+22−13+22=2.\sqrt{3+2\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt2}}=2.

解答

(a)

解法一

思路

展开

用 (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2。这里 a=ra=r，b=1rb=\frac1r。

答题过程

展开 (r−1r)2= r2−2(r)(1r)+1r2= r2−2+1r2.\begin{align*} \left(r-\frac1r\right)^2 =&\,r^2-2\left(r\right)\left(\frac1r\right)+\frac{1}{r^2}\\ =&\,r^2-2+\frac{1}{r^2}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

用共轭 3−223-2\sqrt2 有理化分母。

答题过程

展开 13+22= 13+22⋅3−223−22= 3−229−(22)2= 3−229−8= 3−22.\begin{align*} \frac{1}{3+2\sqrt2} =&\,\frac{1}{3+2\sqrt2}\cdot \frac{3-2\sqrt2}{3-2\sqrt2}\\ =&\,\frac{3-2\sqrt2}{9-(2\sqrt2)^2}\\ =&\,\frac{3-2\sqrt2}{9-8}\\ =&\,3-2\sqrt2. \end{align*}

So

p=3,q=−2.\begin{align*} p=3,\qquad q=-2. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

直接使用 (b) 的结果，把分式换成 3−223-2\sqrt2，根式项会抵消。 不过题目中的式子含有平方根，所以最稳的方法是先令 r=3+22r=\sqrt{3+2\sqrt2}，再使用 (a) 的展开结果证明左边的平方等于 44。由于左边为正，所以左边等于 22。

答题过程

展开

Let

r=3+22.\begin{align*} r=\sqrt{3+2\sqrt2}. \end{align*}

Then

r2=3+22.\begin{align*} r^2=3+2\sqrt2. \end{align*}

Using part (a),

(r−1r)2= r2−2+1r2.\begin{align*} \left(r-\frac1r\right)^2 =&\,r^2-2+\frac{1}{r^2}. \end{align*}

From part (b),

1r2= 13+22= 3−22.\begin{align*} \frac{1}{r^2} =&\,\frac{1}{3+2\sqrt2}\\ =&\,3-2\sqrt2. \end{align*}

Therefore

(r−1r)2= (3+22)−2+(3−22)= 4.\begin{align*} \left(r-\frac1r\right)^2 =&\,(3+2\sqrt2)-2+(3-2\sqrt2)\\ =&\,4. \end{align*}

So

r−1r=2,\begin{align*} r-\frac1r=2, \end{align*}

since r−1rr-\frac1r is positive.

Hence

3+22−13+22=2.\begin{align*} \sqrt{3+2\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt2}}=2. \end{align*}

解法二

思路

展开

不用 (a) 的展开式，先把 3+223+2\sqrt2 识别为一个完全平方，再把倒数有理化。这样可以直接化简原式，而不需要从待证等式出发。

答题过程

展开

Since

(1+2)2= 1+22+2= 3+22,\begin{align*} (1+\sqrt2)^2 =&\,1+2\sqrt2+2\\ =&\,3+2\sqrt2, \end{align*}

and 1+2>01+\sqrt2>0,

3+22=1+2.\begin{align*} \sqrt{3+2\sqrt2}=1+\sqrt2. \end{align*}

Also,

11+2= 1−21−2= 2−1.\begin{align*} \frac{1}{1+\sqrt2} =&\,\frac{1-\sqrt2}{1-2}\\ =&\,\sqrt2-1. \end{align*}

Therefore

3+22−13+22= (1+2)−(2−1)= 2.\begin{align*} \sqrt{3+2\sqrt2} -\frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt2}} =&\,(1+\sqrt2)-(\sqrt2-1)\\ =&\,2. \end{align*}