题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

(a) Find the equation of the tangent to the curve with equation

\begin{align*} y=\frac14x^3-8x^{-\frac12} \end{align*}

at the point $P(4,12)$ .

Give your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$ , $b$ and $c$ are integers.

(5)

The curve with equation $y=f(x)$ also passes through the point $P(4,12)$ .

Given that

\begin{align*} f'(x)=\frac14x^3-8x^{-\frac12}, \end{align*}

(b) find $f(x)$ giving the coefficients in simplest form.

(5)

题目中文翻译

本题必须写出所有计算步骤。

不接受完全依赖计算器技术所得的解答。

(a) 求曲线

y=\frac14x^3-8x^{-\frac12}

在点 $P(4,12)$ 处的切线方程。

把答案写成 $ax+by+c=0$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 为整数。

方程为 $y=f(x)$ 的曲线也经过点 $P(4,12)$ 。

已知

f'(x)=\frac14x^3-8x^{-\frac12},

(b) 求 $f(x)$ ，并把各系数写成最简形式。

解答

(a)

解法一

思路

展开

切线斜率来自导数。先对曲线方程求导，再代入 $x=4$ ，最后用点 $P(4,12)$ 写切线方程。

答题过程

展开

Differentiate:

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac14(3x^2)-8\left(-\frac12x^{-\frac32}\right)\\ =&\,\frac34x^2+4x^{-\frac32}. \end{align*}

At $x=4$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac34(4)^2+4(4)^{-\frac32}\\ =&\,12+4\cdot\frac18\\ =&\,\frac{25}{2}. \end{align*}

The tangent at $P(4,12)$ is

\begin{align*} y-12=&\,\frac{25}{2}(x-4)\\ 2y-24=&\,25x-100\\ 25x-2y-76=&\,0. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

这里给的是 $f'(x)$ ，所以要积分得到 $f(x)$ 。积分后用 $P(4,12)$ 求常数。

答题过程

展开

\begin{align*} f(x) =&\,\int\left(\frac14x^3-8x^{-\frac12}\right)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\frac{1}{16}x^4-16x^{\frac12}+c. \end{align*}

Use $P(4,12)$ :

\begin{align*} 12 =&\,\frac{1}{16}(4)^4-16(4)^{\frac12}+c\\ =&\,16-32+c\\ =&\,-16+c. \end{align*}

\begin{align*} c=28. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} f(x)=\frac{1}{16}x^4-16x^{\frac12}+28. \end{align*}

IAL 2023 May Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程