國際數學圖譜

IAL 2023 Oct Q1

A Level / Edexcel / P1

IAL 2023 Oct Paper · Question 1

题目

Problem

Given that

\begin{align*} y=5x^3+\frac{3}{x^2}-7x,\qquad x>0, \end{align*}

find, in simplest form,

(a) $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

(3)

(b) $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$

(2)

题目中文翻译

已知

y=5x^3+\frac{3}{x^2}-7x,\qquad x>0,

求下列各式，并写成最简形式：

(a) $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ；

(b) $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把分式写成负指数，再逐项求导。常数倍不影响求导规则。

答题过程

展开

Rewrite $y$ as

\begin{align*} y=5x^3+3x^{-2}-7x. \end{align*}

Differentiate term by term:

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,15x^2-6x^{-3}-7\\ =&\,15x^2-\frac{6}{x^3}-7. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

二阶导数就是再对一阶导数求导一次。常数 $-7$ 的导数是 $0$ 。

答题过程

展开

From part (a),

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=15x^2-6x^{-3}-7. \end{align*}

Differentiate again:

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} =&\,30x+18x^{-4}\\ =&\,30x+\frac{18}{x^4}. \end{align*}