CalcGospel 國際數學圖譜
返回

IAL 2023 Oct Q3

A Level / Edexcel / P1

IAL 2023 Oct Paper · Question 3

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

(a) Write

8−1523+5\begin{align*} \frac{8-\sqrt{15}}{2\sqrt3+\sqrt5} \end{align*}

in the form a3+b5a\sqrt3+b\sqrt5 where aa and bb are integers to be found.

(3)

(b) Hence, or otherwise, solve

(x+53)5=40−2x3,\begin{align*} (x+5\sqrt3)\sqrt5=40-2x\sqrt3, \end{align*}

giving your answer in simplest form.

(3)
题目中文翻译

本题必须写出所有计算步骤。

不接受依赖计算器技术所得的解答。

(a) 将

8−1523+5\frac{8-\sqrt{15}}{2\sqrt3+\sqrt5}

表示成 a3+b5a\sqrt3+b\sqrt5 的形式，其中 aa 和 bb 为待求整数。

(b) 由此或用其他方法解方程

(x+53)5=40−2x3,(x+5\sqrt3)\sqrt5=40-2x\sqrt3,

并把答案写成最简形式。

解答

(a)

解法一

思路

展开

分母是 23+52\sqrt3+\sqrt5，所以乘以共轭 23−52\sqrt3-\sqrt5 来有理化。展开时要特别小心 153=35\sqrt{15}\sqrt3=3\sqrt5 和 155=53\sqrt{15}\sqrt5=5\sqrt3。

答题过程

展开 8−1523+5= (8−15)(23−5)(23+5)(23−5)= 163−85−245+7512−5= 163−85−65+537= 213−1457= 33−25.\begin{align*} \frac{8-\sqrt{15}}{2\sqrt3+\sqrt5} =&\,\frac{(8-\sqrt{15})(2\sqrt3-\sqrt5)} {(2\sqrt3+\sqrt5)(2\sqrt3-\sqrt5)}\\ =&\,\frac{16\sqrt3-8\sqrt5-2\sqrt{45}+\sqrt{75}} {12-5}\\ =&\,\frac{16\sqrt3-8\sqrt5-6\sqrt5+5\sqrt3}{7}\\ =&\,\frac{21\sqrt3-14\sqrt5}{7}\\ =&\,3\sqrt3-2\sqrt5. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先把含 xx 的项移到同一边，得到一个和 (a) 相同分母结构的式子。然后直接使用 (a) 的有理化结果。

答题过程

展开

Starting with

(x+53)5= 40−2x3,\begin{align*} (x+5\sqrt3)\sqrt5=&\,40-2x\sqrt3, \end{align*}

expand and collect the xx terms:

x5+515= 40−2x3x5+2x3= 40−515x(23+5)= 40−515.\begin{align*} x\sqrt5+5\sqrt{15}=&\,40-2x\sqrt3\\ x\sqrt5+2x\sqrt3=&\,40-5\sqrt{15}\\ x(2\sqrt3+\sqrt5)=&\,40-5\sqrt{15}. \end{align*}

So

x= 40−51523+5= 5(8−1523+5).\begin{align*} x =&\,\frac{40-5\sqrt{15}}{2\sqrt3+\sqrt5}\\ =&\,5\left(\frac{8-\sqrt{15}}{2\sqrt3+\sqrt5}\right). \end{align*}

Using part (a),

x= 5(33−25)= 153−105.\begin{align*} x =&\,5(3\sqrt3-2\sqrt5)\\ =&\,15\sqrt3-10\sqrt5. \end{align*}

解法二

思路

展开

这是评分标准列出的独立方法：直接把原方程两边平方，整理成关于 xx 的二次方程，再检验平方后得到的两个候选解，以排除增根。

答题过程

展开

Expand the original equation:

x5+515= 40−2x3.\begin{align*} x\sqrt5+5\sqrt{15}=&\,40-2x\sqrt3. \end{align*}

Square both sides:

(x5+515)2= (40−2x3)25x2+503x+375= 1600−1603x+12x27x2−2103x+1225= 0.\begin{align*} (x\sqrt5+5\sqrt{15})^2 =&\,(40-2x\sqrt3)^2\\ 5x^2+50\sqrt3x+375 =&\,1600-160\sqrt3x+12x^2\\ 7x^2-210\sqrt3x+1225 =&\,0. \end{align*}

Divide by 77 and complete the square:

x2−303x+175= 0(x−153)2= 500x= 153±105.\begin{align*} x^2-30\sqrt3x+175=&\,0\\ (x-15\sqrt3)^2=&\,500\\ x=&\,15\sqrt3\pm10\sqrt5. \end{align*}

Substitution into the original equation shows that 153+10515\sqrt3+10\sqrt5 does not satisfy it, so this is an extraneous solution introduced by squaring.

For x=153−105x=15\sqrt3-10\sqrt5,

LHS= 2015−50,RHS= 2015−50.\begin{align*} \text{LHS}=&\,20\sqrt{15}-50,\\ \text{RHS}=&\,20\sqrt{15}-50. \end{align*}

Therefore the solution is

x=153−105.x=15\sqrt3-10\sqrt5.