题目

Problem

The curve $C$ has equation

\begin{align*} y=\frac{5x^3-8}{2x^2},\qquad x>0. \end{align*}

(a) Find $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ , giving your answer in simplest form.

(4)

The point $P(2,4)$ lies on $C$ .

(b) Find an equation of the tangent to $C$ at $P$ , giving your answer in the form $ax+by+c=0$ , where $a$ , $b$ and $c$ are integers to be found.

(3)

题目中文翻译

曲线 $C$ 的方程为

y=\frac{5x^3-8}{2x^2},\qquad x>0.

(a) 求 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，并把答案写成最简形式。

点 $P(2,4)$ 在曲线 $C$ 上。

(b) 求曲线 $C$ 在点 $P$ 处的切线方程，答案写成 $ax+by+c=0$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为整数。

解答

(a)

解法一

思路

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先把分式拆成幂函数，再求导会更直接。分母是单项式，所以可以分别除以 $2x^2$ 。

答题过程

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Rewrite $y$ as powers of $x$ :

\begin{align*} y =&\,\frac{5x^3}{2x^2}-\frac{8}{2x^2}\\ =&\,\frac52x-4x^{-2}. \end{align*}

Differentiate term by term:

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac52+8x^{-3}\\ =&\,\frac52+\frac{8}{x^3}. \end{align*}

解法二

思路

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这是官方评分资料接受的商法则路线。把分子和分母分别视为函数，直接使用 quotient rule，再化简所得导数。

答题过程

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Using the quotient rule,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{(2x^2)(15x^2)-(5x^3-8)(4x)} {(2x^2)^2}\\ =&\,\frac{30x^4-20x^4+32x}{4x^4}\\ =&\,\frac{10x^4+32x}{4x^4}\\ =&\,\frac52+\frac{8}{x^3}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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切线斜率就是该点处的导数值。求出 $x=2$ 时的斜率后，用点斜式写直线，再整理成题目要求的整数形式。

答题过程

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At $x=2$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac52+\frac{8}{2^3}\\ =&\,\frac52+1\\ =&\,\frac72. \end{align*}

So the tangent has gradient $\frac72$ and passes through $P(2,4)$ :

\begin{align*} y-4=&\,\frac72(x-2)\\ 2y-8=&\,7x-14\\ 7x-2y-6=&\,0. \end{align*}

IAL 2024 Jan Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程