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IAL 2024 Jan Q5

A Level / Edexcel / P1

IAL 2024 Jan Paper · Question 5

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

The straight line l1l_1, shown in Figure 1, passes through the points P(−2,9)P(-2,9) and Q(10,6)Q(10,6).

(a) Find the equation of l1l_1, giving your answer in the form y=mx+cy=mx+c, where mm and cc are constants to be found.

(3)

The straight line l2l_2 passes through the origin OO and is perpendicular to l1l_1.

The lines l1l_1 and l2l_2 meet at the point RR as shown in Figure 1.

(b) Find the coordinates of RR.

(4)

(c) Find the exact area of triangle OPQOPQ.

(3)
题目中文翻译

本题必须写出所有计算步骤。

不接受依赖计算器技术所得的解答。

如图 1 所示，直线 l1l_1 经过点 P(−2,9)P(-2,9) 和点 Q(10,6)Q(10,6)。

(a) 求直线 l1l_1 的方程，答案写成 y=mx+cy=mx+c 的形式，其中 mm、cc 为待求常数。

直线 l2l_2 经过原点 OO，并且垂直于 l1l_1。如图 1 所示，直线 l1l_1 与 l2l_2 相交于点 RR。

(b) 求点 RR 的坐标。

(c) 求三角形 OPQOPQ 面积的精确值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先用两点求斜率，再把其中一个点代入 y=mx+cy=mx+c 求截距。

答题过程

展开

The gradient of l1l_1 is

m= 6−910−(−2)= −312= −14.\begin{align*} m =&\,\frac{6-9}{10-(-2)}\\ =&\,\frac{-3}{12}\\ =&\,-\frac14. \end{align*}

So

y=−14x+c.\begin{align*} y=-\frac14x+c. \end{align*}

Using P(−2,9)P(-2,9),

9= −14(−2)+c9= 12+cc= 172.\begin{align*} 9=&\,-\frac14(-2)+c\\ 9=&\,\frac12+c\\ c=&\,\frac{17}{2}. \end{align*}

Therefore

y=−14x+172.\begin{align*} y=-\frac14x+\frac{17}{2}. \end{align*}

解法二

思路

展开

这是官方评分资料列出的另一条路线：把点 PP、QQ 分别代入 y=mx+cy=mx+c，联立两个方程直接求 mm 和 cc。

答题过程

展开

Let

l1:y=mx+c.l_1:\quad y=mx+c.

Using P(−2,9)P(-2,9) and Q(10,6)Q(10,6),

9= −2m+c,6= 10m+c.\begin{align*} 9=&\,-2m+c,\\ 6=&\,10m+c. \end{align*}

Subtracting the first equation from the second gives

−3= 12mm= −14.\begin{align*} -3=&\,12m\\ m=&\,-\frac14. \end{align*}

Then

9= −2(−14)+cc= 172.\begin{align*} 9=&\,-2\left(-\frac14\right)+c\\ c=&\,\frac{17}{2}. \end{align*}

Therefore

y=−14x+172.y=-\frac14x+\frac{17}{2}.

(b)

解法一

思路

展开

垂直直线的斜率相乘为 −1-1。l1l_1 的斜率是 −14-\frac14，所以 l2l_2 的斜率是 44。又因为 l2l_2 过原点，所以方程是 y=4xy=4x。交点 RR 由两条直线联立求出。

答题过程

展开

Since l2l_2 is perpendicular to l1l_1, its gradient is 44.

As l2l_2 passes through the origin,

l2:y=4x.\begin{align*} l_2:\quad y=4x. \end{align*}

At RR, the two equations are equal:

4x= −14x+17216x= −x+3417x= 34x= 2.\begin{align*} 4x=&\,-\frac14x+\frac{17}{2}\\ 16x=&\,-x+34\\ 17x=&\,34\\ x=&\,2. \end{align*}

Then

y=4(2)=8.\begin{align*} y=4(2)=8. \end{align*}

Therefore

R=(2,8).\begin{align*} R=(2,8). \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

点 RR 在 PQPQ 上，也在从原点作出的垂线 OROR 上。所以 OROR 是三角形 OPQOPQ 以 PQPQ 为底的高。面积可以用 12×PQ×OR\frac12\times PQ\times OR。

答题过程

展开

Since RR lies on PQPQ and OROR is perpendicular to PQPQ, the area of triangle OPQOPQ is

12×PQ×OR.\begin{align*} \frac12\times PQ\times OR. \end{align*}

Now

PQ= (10−(−2))2+(6−9)2= 122+(−3)2= 153= 317,\begin{align*} PQ =&\,\sqrt{(10-(-2))^2+(6-9)^2}\\ =&\,\sqrt{12^2+(-3)^2}\\ =&\,\sqrt{153}\\ =&\,3\sqrt{17}, \end{align*}

and

OR= 22+82= 68= 217.\begin{align*} OR =&\,\sqrt{2^2+8^2}\\ =&\,\sqrt{68}\\ =&\,2\sqrt{17}. \end{align*}

Therefore

Area= 12(317)(217)= 51.\begin{align*} \text{Area} =&\,\frac12(3\sqrt{17})(2\sqrt{17})\\ =&\,51. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以直接用坐标面积公式。这个方法不需要先找 RR，但要小心代入顺序和绝对值。

答题过程

展开

Using the coordinate area formula for O(0,0)O(0,0), P(−2,9)P(-2,9) and Q(10,6)Q(10,6),

Area= 12∣0(9−6)+(−2)(6−0)+10(0−9)∣= 12∣−12−90∣= 51.\begin{align*} \text{Area} =&\,\frac12 \left| 0(9-6)+(-2)(6-0)+10(0-9) \right|\\ =&\,\frac12|-12-90|\\ =&\,51. \end{align*}