曲线 $C_1$ 的方程为 $y=f(x)$。

已知：

• $f(x)$ 是二次式；
• $C_1$ 在 $(2,20)$ 处有一个最高转折点；
• $C_1$ 经过原点。

(a) 画出曲线 $C_1$ 的草图，并标出 $C_1$ 与坐标轴相交的所有点的坐标。

(b) 求 $f(x)$ 的表达式。

曲线 $C_2$ 的方程为

曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 相交于原点以及点 $P$、$Q$。

已知点 $P$ 的 $x$ 坐标为负。

(c) 使用代数方法并写出所有计算步骤，求点 $P$ 的坐标。

二次曲线有最大转折点，所以它开口向下。已知顶点是 $(2,20)$，并且经过原点。由对称轴 $x=2$ 可知另一个 $x$ 轴截距在 $x=4$。

The graph is a downward-opening parabola with maximum turning point $(2,20)$.

It passes through the origin, so one intercept is

Since the axis of symmetry is $x=2$, the other $x$-intercept is

The sketch should show a downward-opening parabola through $(0,0)$ and $(4,0)$, with maximum point $(2,20)$.

因为两个根是 $0$ 和 $4$，所以可设 $f(x)=Ax(x-4)$。再代入顶点 $(2,20)$ 求 $A$。

Since the roots are $0$ and $4$, let

Using the point $(2,20)$,

Therefore

也可以直接用顶点式。最大点是 $(2,20)$，所以写成 $f(x)=a(x-2)^2+20$。因为开口向下，所以 $a$ 会是负数。

Using vertex form,

Since the curve passes through $(0,0)$,

So

交点满足两个 $y$ 值相等。把 $C_1$ 的表达式与 $x(x^2-4)$ 联立，因式分解后得到三个交点的 $x$ 坐标。题目要 $x$ 坐标为负的点，所以选 $x=-8$。

At intersections of $C_1$ and $C_2$,

Expand both sides:

So

Point $P$ has negative $x$ coordinate, so

Substitute into $C_2$:

Therefore

点 $P$ 不是原点，而且题目说明它的 $x$ 坐标为负，所以 $x\ne0$。因此在联立两条曲线后可直接约去公因子 $x$，先得到二次方程，再选负根。

At an intersection,

For point $P$, $x\ne0$, so divide by $x$:

Since the $x$ coordinate of $P$ is negative,

Therefore