题目

Problem

Figure 4 shows a sketch of part of the curve $C_1$ with equation

\begin{align*} y=12\sin x \end{align*}

where $x$ is measured in radians.

The point $P$ shown in Figure 4 is a maximum point on $C_1$ .

(a) Find the coordinates of $P$ .

(2)

The curve $C_2$ has equation

\begin{align*} y=12\sin x+k \end{align*}

where $k$ is a constant.

Given that the maximum value of $y$ on $C_2$ is $3$ ,

(b) find the coordinates of the minimum point on $C_2$ which has the smallest positive $x$ coordinate.

(2)

The curve $C_3$ has equation

\begin{align*} y=12\sin(x+B) \end{align*}

where $B$ is a positive constant.

Given that $\left(\dfrac{\pi}{4},A\right)$ , where $A$ is a constant, is the minimum point on $C_3$ which has the smallest positive $x$ coordinate,

(i) the value of $A$ ,

(ii) the smallest possible value of $B$ .

(2)

题目中文翻译

图 4 是曲线 $C_1$ 的一部分的草图，其方程为

\begin{align*} y=12\sin x, \end{align*}

其中 $x$ 以弧度为单位。

图 4 所示的点 $P$ 是 $C_1$ 上的一个极大值点。

(a) 求点 $P$ 的坐标。

(2)

曲线 $C_2$ 的方程为

\begin{align*} y=12\sin x+k, \end{align*}

其中 $k$ 为常数。

已知 $C_2$ 上 $y$ 的最大值为 $3$ 。

(b) 求 $C_2$ 上具有最小正 $x$ 坐标的极小值点的坐标。

(2)

曲线 $C_3$ 的方程为

\begin{align*} y=12\sin(x+B), \end{align*}

其中 $B$ 为正常数。

已知 $\left(\dfrac{\pi}{4},A\right)$ （其中 $A$ 为常数）是 $C_3$ 上具有最小正 $x$ 坐标的极小值点。

(i) $A$ 的值；

(ii) $B$ 的最小可能值。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

$12\sin x$ 的最大值是 $12$ 。图中给出的最大点 $P$ 是右侧那一个，对应 $x=\frac{5\pi}{2}$ 。

答题过程

展开

For $y=12\sin x$ , the maximum value is $12$ .

The maximum point shown has

\begin{align*} x=\frac{5\pi}{2}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} P=\left(\frac{5\pi}{2},12\right). \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

$12\sin x$ 的最大值是 $12$ ，所以 $12\sin x+k$ 的最大值是 $12+k$ 。由最大值为 $3$ 可求 $k=-9$ 。最小值就是 $-12-9=-21$ 。

答题过程

展开

The maximum value of $12\sin x+k$ is

\begin{align*} 12+k. \end{align*}

Given that this maximum is $3$ ,

\begin{align*} 12+k=&\,3\\ k=&\,-9. \end{align*}

So the minimum value is

\begin{align*} -12-9=-21. \end{align*}

The smallest positive $x$ coordinate for a minimum of $\sin x$ is

\begin{align*} x=\frac{3\pi}{2}. \end{align*}

Therefore the point is

\begin{align*} \left(\frac{3\pi}{2},-21\right). \end{align*}

(c)(i)

解法一

思路

展开

$\sin(x+B)$ 的最小值为 $-1$ ，因此 $12\sin(x+B)$ 的最小值为 $-12$ 。

答题过程

展开

The minimum value of $12\sin(x+B)$ is $-12$ . Therefore

\begin{align*} A=-12. \end{align*}

(c)(ii)

解法一

思路

展开

最小点满足 $x+B=\frac{3\pi}{2}+2n\pi$ 。代入题目给出的 $x=\frac{\pi}{4}$ ，并选取使 $B$ 为正数的最小值。

答题过程

展开

For a minimum,

\begin{align*} x+B=\frac{3\pi}{2}+2n\pi. \end{align*}

Using $x=\frac{\pi}{4}$ and taking the smallest positive value of $B$ ,

\begin{align*} \frac{\pi}{4}+B=&\,\frac{3\pi}{2}\\ B=&\,\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\\ B=&\,\frac{5\pi}{4}. \end{align*}

IAL 2024 May Q11

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)(i)

解法一

思路

答题过程

(c)(ii)

解法一

思路

答题过程