题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

Figure 3 shows

the line $l$ with equation $y-5x=75$
the curve $C$ with equation $y=2x^2+x-21$

The line $l$ intersects the curve $C$ at the points $P$ and $Q$ , as shown in Figure 3.

(a) Find, using algebra, the coordinates of $P$ and the coordinates of $Q$ .

(4)

The region $R$ , shown shaded in Figure 3, is bounded by $C$ , $l$ and the $x$ -axis.

(b) Use inequalities to define the region $R$ .

(3)

题目中文翻译

本题必须写出所有计算步骤。

不接受依赖计算器技术的解答。

图 3 显示了

直线 $l$ ，其方程为 $y-5x=75$
曲线 $C$ ，其方程为 $y=2x^2+x-21$

如图 3 所示，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于点 $P$ 和 $Q$ 。

(a) 用代数方法求点 $P$ 和点 $Q$ 的坐标。

(4)

图 3 中的阴影区域 $R$ 由 $C$ 、 $l$ 和 $x$ 轴围成。

(b) 用不等式定义区域 $R$ 。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

交点满足直线和曲线的 $y$ 值相等。先解出 $x$ ，再代回直线方程求 $y$ 。

答题过程

展开

The line is

\begin{align*} y=5x+75. \end{align*}

At intersections,

\begin{align*} 2x^2+x-21=&\,5x+75\\ 2x^2-4x-96=&\,0\\ x^2-2x-48=&\,0\\ (x-8)(x+6)=&\,0. \end{align*}

\begin{align*} x=8\quad\text{or}\quad x=-6. \end{align*}

Using $y=5x+75$ :

\begin{align*} x=-6&:\quad y=5(-6)+75=45,\\ x=8&:\quad y=5(8)+75=115. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} P=(-6,45),\qquad Q=(8,115). \end{align*}

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受消去 $x$ 的路线。先由直线方程把 $x$ 写成 $y$ 的式子，再代入抛物线，得到关于 $y$ 的二次方程。

答题过程

展开

From the line,

\begin{align*} x=\frac{y-75}{5}. \end{align*}

Substitute this into the equation of $C$ :

\begin{align*} y =&\,2\left(\frac{y-75}{5}\right)^2 +\frac{y-75}{5}-21. \end{align*}

Multiplying by $25$ and simplifying,

\begin{align*} 25y=&\,2(y-75)^2+5(y-75)-525\\ 0=&\,2y^2-320y+10350\\ 0=&\,y^2-160y+5175\\ 0=&\,(y-45)(y-115). \end{align*}

Thus $y=45$ or $y=115$ . Using $x=\dfrac{y-75}{5}$ gives

\begin{align*} y=45&:\quad x=-6,\\ y=115&:\quad x=8. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} P=(-6,45),\qquad Q=(8,115). \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

图中阴影区域在 $x$ 轴上方，同时在直线下方、在抛物线下方。为了只取左边被三条边围住的那一块，还要限制 $x\le-\frac72$ ，因为抛物线和 $x$ 轴的左交点是 $x=-\frac72$ 。

答题过程

展开

The region is above the $x$ -axis:

\begin{align*} y\ge0. \end{align*}

It is below the line:

\begin{align*} y\le5x+75. \end{align*}

It is also below the curve:

\begin{align*} y\le2x^2+x-21. \end{align*}

The left $x$ -intercept of the curve is found from

\begin{align*} 2x^2+x-21=&\,0\\ (2x+7)(x-3)=&\,0, \end{align*}

so it is $x=-\frac72$ .

Therefore $R$ is defined by

\begin{align*} y&\ge0,\\ y&\le5x+75,\\ y&\le2x^2+x-21,\\ x&\le-\frac72. \end{align*}

IAL 2024 May Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程