曲线 $C_1$ 的方程为

(a) 画出 $C_1$ 的图像草图，并标出它与坐标轴所有交点的坐标。

曲线 $C_2$ 的方程为 $y=\dfrac{A}{x}$，其中 $A$ 为常数。

(b) 证明 $C_1$ 与 $C_2$ 交点的 $x$ 坐标满足方程

(c) 由此求使 $C_1$ 与 $C_2$ 相交于 $4$ 个不同点时，$A$ 的所有可能取值范围。

先把函数展开成 $y=4x-x^3$，这是负三次函数形状。截距由 $x(4-x^2)=0$ 得到。

The intersections with the coordinate axes occur when $y=0$:

So

The sketch should be a negative cubic curve crossing the axes at

交点满足两个 $y$ 相等。由于 $C_2$ 中有 $\frac{A}{x}$，乘以 $x$ 去分母即可。

At intersections,

Multiply by $x$:

Rearrange:

This is the required result.

令 $u=x^2$，方程变成 $u^2-4u+A=0$。要有 $4$ 个不同的 $x$ 值，需要这个关于 $u$ 的二次方程有两个不同的正根。

Let

Then

becomes

For $4$ distinct real $x$ values, this equation must have two distinct positive $u$ roots.

First, the product of the two $u$ roots is $A$, so

Also, the roots must be distinct:

Therefore

把交点方程写成 $4x^2-x^4=A$，并考察偶函数 $g(x)=4x^2-x^4$。它在 $x=0$ 处取值 $0$，在 $x=\pm\sqrt2$ 处取得最大值 $4$。水平直线 $y=A$ 只有在 $0<A<4$ 时才会与两侧的隆起各相交两次，共得到四个非零的不同 $x$ 值。

Rewrite the equation as

Let $g(x)=4x^2-x^4$. Completing the square in $x^2$ gives

Thus $g(0)=0$, while the maximum value is $4$ at $x=\pm\sqrt2$. On each of the intervals $(-2,0)$ and $(0,2)$, the graph rises from $0$ to $4$ and returns to $0$.

Therefore the horizontal line $y=A$ cuts the graph at four distinct nonzero points precisely when