题目

Problem

Given that

the point $A$ has coordinates $(4,2)$
the point $B$ has coordinates $(15,7)$
the line $l_1$ passes through $A$ and $B$

(a) find an equation for $l_1$ , giving your answer in the form $px+qy+r=0$ where $p$ , $q$ and $r$ are integers to be found.

(3)

The line $l_2$ passes through $A$ and is parallel to the $x$ -axis.

The point $C$ lies on $l_2$ so that the length of $BC$ is $5\sqrt5$ .

(b) Find both possible pairs of coordinates of the point $C$ .

(4)

(2)

题目中文翻译

已知

点 $A$ 的坐标为 $(4,2)$
点 $B$ 的坐标为 $(15,7)$
直线 $l_1$ 经过点 $A$ 和点 $B$

(a) 求 $l_1$ 的方程，并将答案写成 $px+qy+r=0$ 的形式，其中 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 为待求整数。

(3)

直线 $l_2$ 经过点 $A$ ，且与 $x$ 轴平行。

点 $C$ 位于 $l_2$ 上，且线段 $BC$ 的长度为 $5\sqrt5$ 。

(b) 求点 $C$ 的两组可能坐标。

(4)

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先用两点求斜率，再用点斜式写直线方程，最后整理成整数系数的一边等于 $0$ 。

答题过程

展开

The gradient of $AB$ is

\begin{align*} m =&\,\frac{7-2}{15-4}\\ =&\,\frac5{11}. \end{align*}

Using point $A(4,2)$ ,

\begin{align*} y-2=&\,\frac5{11}(x-4). \end{align*}

Multiply by $11$ :

\begin{align*} 11y-22=&\,5x-20\\ 5x-11y+2=&\,0. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以设直线为 $y=mx+c$ ，把 $A$ 和 $B$ 都代入，联立求出 $m,c$ 。

答题过程

展开

Let the line be

\begin{align*} y=mx+c. \end{align*}

Using $A(4,2)$ and $B(15,7)$ ,

\begin{align*} 2=&\,4m+c,\\ 7=&\,15m+c. \end{align*}

Subtract the first equation from the second:

\begin{align*} 5=&\,11m\\ m=&\,\frac5{11}. \end{align*}

Then

\begin{align*} 2=&\,4\left(\frac5{11}\right)+c\\ c=&\,\frac2{11}. \end{align*}

\begin{align*} y=\frac5{11}x+\frac2{11}. \end{align*}

Multiply by $11$ and rearrange:

\begin{align*} 11y=&\,5x+2\\ 5x-11y+2=&\,0. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

$l_2$ 过 $A(4,2)$ 且平行于 $x$ 轴，所以 $C$ 的 $y$ 坐标一定是 $2$ 。设 $C=(x,2)$ ，再用 $BC=5\sqrt5$ 的距离条件求 $x$ 。

答题过程

展开

Since $l_2$ is parallel to the $x$ -axis and passes through $A(4,2)$ ,

\begin{align*} l_2:\ y=2. \end{align*}

Let

\begin{align*} C=(x,2). \end{align*}

Using $B(15,7)$ and $BC=5\sqrt5$ ,

\begin{align*} (x-15)^2+(2-7)^2=&\,(5\sqrt5)^2\\ (x-15)^2+25=&\,125\\ (x-15)^2=&\,100\\ x-15=&\,\pm10. \end{align*}

\begin{align*} x=5\quad\text{or}\quad x=25. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} C=(5,2)\quad\text{or}\quad C=(25,2). \end{align*}

解法二

思路

展开

按照官方评分资料的 Way 2，从点 $B$ 向水平直线 $l_2$ 作垂线。竖直距离是 $5$ ，斜边 $BC=5\sqrt5$ ，用勾股定理求出水平距离，再从 $B$ 的 $x$ 坐标向左右各移动这段距离。

答题过程

展开

Since $l_2$ is the line $y=2$ , the vertical distance from $B(15,7)$ to $l_2$ is

\begin{align*} 7-2=5. \end{align*}

Let the horizontal distance from $B$ to $C$ be $d$ . By Pythagoras,

\begin{align*} d^2+5^2=&\,(5\sqrt5)^2\\ d^2=&\,100\\ d=&\,10. \end{align*}

Therefore the possible $x$ coordinates of $C$ are

\begin{align*} 15-10=5\quad\text{and}\quad15+10=25. \end{align*}

Hence

\begin{align*} C=(5,2)\quad\text{or}\quad C=(25,2). \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

两种 $C$ 都在直线 $y=2$ 上，所以 $AC$ 是水平底边。点 $B$ 到这条水平线的高度是 $7-2=5$ 。比较两个底边长度，取较小的面积。

答题过程

展开

If $C=(5,2)$ , then

\begin{align*} AC=5-4=1. \end{align*}

If $C=(25,2)$ , then

\begin{align*} AC=25-4=21. \end{align*}

The minimum area uses $AC=1$ .

The perpendicular height from $B$ to $y=2$ is

\begin{align*} 7-2=5. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \text{minimum area} =&\,\frac12(1)(5)\\ =&\,\frac52. \end{align*}

IAL 2024 May Q9

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程