國際數學圖譜

integration

IAL 2024 May R Q1

A Level / Edexcel / P1

IAL 2024 May (R) Paper · Question 1

题目

Problem

Find

\begin{align*} \int\left(\frac12x^3+\frac{3}{\sqrt{x}}-4\right)\,\mathrm{d}x \end{align*}

writing your answer in simplest form.

(4)

题目中文翻译

求

\begin{align*} \int\left(\frac12x^3+\frac{3}{\sqrt{x}}-4\right)\,\mathrm{d}x, \end{align*}

并将答案写成最简形式。

解答

解法一

思路

展开

先把 $\dfrac{3}{\sqrt{x}}$ 写成指数形式 $3x^{-1/2}$ ，然后逐项积分。最后不要忘记积分常数。

答题过程

展开

Write the integrand using powers of $x$ :

\begin{align*} \frac12x^3+\frac{3}{\sqrt{x}}-4 =\frac12x^3+3x^{-1/2}-4. \end{align*}

So

\begin{align*} \int\left(\frac12x^3+\frac{3}{\sqrt{x}}-4\right)\,\mathrm{d}x =&\,\int\left(\frac12x^3+3x^{-1/2}-4\right)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\frac12\cdot\frac{x^4}{4} +3\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}-4x+c\\ =&\,\frac18x^4+6x^{1/2}-4x+c. \end{align*}