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IAL 2024 May R Q5

A Level / Edexcel / P1

IAL 2024 May (R) Paper · Question 5

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

(a) Fully factorise

9x3−10x2+x.\begin{align*} 9x^3-10x^2+x. \end{align*}
(2)

(b) Hence solve

9×27y−10×9y+3y=0.\begin{align*} 9\times27^y-10\times9^y+3^y=0. \end{align*}
(3)
题目中文翻译

本题必须写出解题过程的所有步骤。

不得使用依赖计算器技术的解法。

(a) 将下式完全因式分解：

9x3−10x2+x.\begin{align*} 9x^3-10x^2+x. \end{align*}
(2)

(b) 由此解方程

9×27y−10×9y+3y=0.\begin{align*} 9\times27^y-10\times9^y+3^y=0. \end{align*}
(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先提出公因式 xx，剩下的是二次式 9x2−10x+19x^2-10x+1，再因式分解。

答题过程

展开 9x3−10x2+x= x(9x2−10x+1)= x(9x−1)(x−1).\begin{align*} 9x^3-10x^2+x =&\,x(9x^2-10x+1)\\ =&\,x(9x-1)(x-1). \end{align*}

解法二

思路

展开

按照官方评分资料给出的另一条路线，把中间项拆成 −9x2−x2-9x^2-x^2，再分组提出公因式。

答题过程

展开 9x3−10x2+x= 9x3−9x2−x2+x= 9x2(x−1)−x(x−1)= (x−1)(9x2−x)= x(9x−1)(x−1).\begin{align*} 9x^3-10x^2+x =&\,9x^3-9x^2-x^2+x\\ =&\,9x^2(x-1)-x(x-1)\\ =&\,(x-1)(9x^2-x)\\ =&\,x(9x-1)(x-1). \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

把 27y27^y 和 9y9^y 都写成 3y3^y 的幂：

27y=(33)y=(3y)3,9y=(32)y=(3y)2.\begin{align*} 27^y=(3^3)^y=(3^y)^3,\qquad 9^y=(3^2)^y=(3^y)^2. \end{align*}

令 X=3yX=3^y，方程就变成 (a) 中的三次式。

答题过程

展开

Let

X=3y.\begin{align*} X=3^y. \end{align*}

Then

27y=(3y)3=X3,9y=(3y)2=X2.\begin{align*} 27^y=(3^y)^3=X^3,\qquad 9^y=(3^y)^2=X^2. \end{align*}

So the equation becomes

9X3−10X2+X= 0X(9X−1)(X−1)= 0.\begin{align*} 9X^3-10X^2+X=&\,0\\ X(9X-1)(X-1)=&\,0. \end{align*}

Since X=3y>0X=3^y>0, we cannot have X=0X=0.

Thus

9X−1=0orX−1=0.\begin{align*} 9X-1=0 \quad\text{or}\quad X-1=0. \end{align*}

So

X=19orX=1.\begin{align*} X=\frac19 \quad\text{or}\quad X=1. \end{align*}

Return to X=3yX=3^y:

3y= 19=3−2or3y=1=30.\begin{align*} 3^y=&\,\frac19=3^{-2} \quad\text{or}\quad 3^y=1=3^0. \end{align*}

Therefore

y=−2ory=0.\begin{align*} y=-2\quad\text{or}\quad y=0. \end{align*}