题目

Problem

The straight line $l_1$ shown in Figure 2 has equation $5y=2x+10$ .

Figure 2

The points $A$ and $B$ lie on $l_1$ such that

point $A$ lies on the $y$ -axis
point $B$ has $x$ coordinate $10$

(a) Find the distance $AB$ writing your answer as a fully simplified surd.

(3)

The straight line $l_2$ also shown in Figure 2

passes through $B$
is perpendicular to $l_1$

(b) Find an equation for $l_2$ writing your answer in the form $ax+by+c=0$ , where $a$ , $b$ and $c$ are integers.

(4)

Line $l_2$ crosses the $x$ -axis at the point $C$ .

Point $D$ is such that the points $A$ , $B$ , $C$ and $D$ form the vertices of a rectangle, shown shaded in Figure 2.

(3)

题目中文翻译

图 2 中的直线 $l_1$ 的方程为 $5y=2x+10$ 。

点 $A$ 和 $B$ 位于 $l_1$ 上，并且

点 $A$ 位于 $y$ 轴上；
点 $B$ 的 $x$ 坐标为 $10$ 。

(a) 求距离 $AB$ ，并将答案写成完全化简的根式。

(3)

图 2 中还画出了直线 $l_2$ ，它

经过点 $B$ ；
与 $l_1$ 垂直。

(b) 求 $l_2$ 的方程，并将答案写成 $ax+by+c=0$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为整数。

(4)

直线 $l_2$ 在点 $C$ 处与 $x$ 轴相交。

点 $D$ 使点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 构成一个矩形，如图 2 中阴影部分所示。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先求 $A$ 和 $B$ 的坐标。 $A$ 在 $y$ 轴上，所以 $x=0$ ； $B$ 的 $x$ 坐标是 $10$ 。再用两点距离公式。

答题过程

展开

For $A$ , set $x=0$ :

\begin{align*} 5y=&\,2(0)+10\\ y=&\,2. \end{align*}

\begin{align*} A=(0,2). \end{align*}

For $B$ , set $x=10$ :

\begin{align*} 5y=&\,2(10)+10\\ 5y=&\,30\\ y=&\,6. \end{align*}

\begin{align*} B=(10,6). \end{align*}

Therefore

\begin{align*} AB =&\,\sqrt{(10-0)^2+(6-2)^2}\\ =&\,\sqrt{100+16}\\ =&\,\sqrt{116}\\ =&\,2\sqrt{29}. \end{align*}

解法二

思路

展开

按照官方评分资料给出的另一条路线，先求 $l_1$ 的 $x$ 轴截距 $H$ 。由于 $A$ 、 $B$ 、 $H$ 共线且 $A$ 位于 $H$ 与 $B$ 之间，可用 $AB=BH-AH$ 。

答题过程

展开

Let $H$ be the $x$ -intercept of $l_1$ . Setting $y=0$ gives

\begin{align*} 0=&\,2x+10,\\ x=&\,-5, \end{align*}

so $H=(-5,0)$ . From $A=(0,2)$ and $B=(10,6)$ ,

\begin{align*} AH =&\,\sqrt{5^2+2^2} =\sqrt{29},\\ BH =&\,\sqrt{15^2+6^2} =3\sqrt{29}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} AB =&\,BH-AH\\ =&\,3\sqrt{29}-\sqrt{29}\\ =&\,2\sqrt{29}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先把 $l_1$ 写成 $y=\frac25x+2$ ，所以斜率是 $\frac25$ 。垂线斜率是 $-\frac52$ 。再用点 $B(10,6)$ 写直线方程。

答题过程

展开

From

\begin{align*} 5y=2x+10, \end{align*}

we get

\begin{align*} y=\frac25x+2. \end{align*}

So the gradient of $l_1$ is $\frac25$ , and the gradient of $l_2$ is

\begin{align*} -\frac52. \end{align*}

Using $B(10,6)$ ,

\begin{align*} y-6=&\,-\frac52(x-10). \end{align*}

Multiply by $2$ :

\begin{align*} 2y-12=&\,-5x+50\\ 5x+2y-62=&\,0. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} 5x+2y-62=0. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

矩形面积是 $AB\times BC$ 。已经有 $AB=2\sqrt{29}$ ，再由 $l_2$ 的 $x$ 截距求 $C$ ，然后用距离公式求 $BC$ 。

答题过程

展开

At $C$ , $y=0$ on $l_2$ :

\begin{align*} 5x+2(0)-62=&\,0\\ x=&\,\frac{62}{5}. \end{align*}

\begin{align*} C=\left(\frac{62}{5},0\right). \end{align*}

Now

\begin{align*} BC =&\,\sqrt{\left(\frac{62}{5}-10\right)^2+(0-6)^2}\\ =&\,\sqrt{\left(\frac{12}{5}\right)^2+36}\\ =&\,\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{900}{25}}\\ =&\,\sqrt{\frac{1044}{25}}\\ =&\,\frac{6\sqrt{29}}{5}. \end{align*}

Hence the area is

\begin{align*} AB\cdot BC =&\,2\sqrt{29}\cdot\frac{6\sqrt{29}}{5}\\ =&\,\frac{12\cdot29}{5}\\ =&\,\frac{348}{5}\\ =&\,69.6. \end{align*}

解法二

思路

展开

矩形的对角线 $AC$ 把矩形分成两个等面积三角形，因此可以用坐标行列式求三角形 $ABC$ 的面积，再乘以 $2$ 。

答题过程

展开

Using

\begin{align*} A=(0,2),\quad B=(10,6),\quad C=\left(\frac{62}{5},0\right), \end{align*}

the area of triangle $ABC$ is

\begin{align*} \frac12\left| 0(6-0)+10(0-2) +\frac{62}{5}(2-6) \right| =&\,\frac{174}{5}. \end{align*}

Hence the area of rectangle $ABCD$ is

\begin{align*} 2\times\frac{174}{5} =&\,\frac{348}{5}\\ =&\,69.6. \end{align*}

IAL 2024 May R Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程