图 3 是下列图形的草图：

• 曲线 $y=\tan\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$，其中 $0\le x\le2\pi$；
• 直线 $l$ 的一部分，其方程为 $y=\pi-x$。

(a) 写出下列方程的解的个数：

(i) 在区间 $0\le x\le2\pi$ 内，$\tan\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\pi-x$；

(ii) 在区间 $0\le x\le100\pi$ 内，$\tan\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\pi-x$；

(iii) 在区间 $0\le x\le2\pi$ 内，$\tan\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\pi+x$。

图 3 中方程为 $x=a$ 的直线，是该曲线上具有最小正 $x$ 坐标的渐近线。

(b) 写出 $a$ 的值。

图 3 中方程为 $x=b$ 的直线，是该曲线上具有第二小正 $x$ 坐标的渐近线。

如图 3 所示，直线 $l$ 与 $x=a$ 相交于点 $P$，并与 $x=b$ 相交于点 $Q$。

(c) 求线段 $PQ$ 的中点。

解的个数就是直线 $y=\pi-x$ 和正切图像的交点个数，在给出的图中直接计数。

Using the graph:

has

solutions in $0\le x\le2\pi$.

正切图像每隔 $\pi$ 重复一次。把区间扩展到 $100\pi$ 后，逐个周期计算与同一直线的交点，并计入端点所在分支。

Over $0\le x\le100\pi$, the tangent curve repeats every $\pi$, giving one intersection in each main branch, with the endpoint branch included.

Hence the number of solutions is

把右边视为直线 $y=\pi+x$，在 $0\le x\le2\pi$ 内数它与正切图像的交点。

For

the corresponding line has positive gradient. In $0\le x\le2\pi$, it intersects the tangent curve

times.

$\tan u$ 的渐近线在 $u=\frac\pi2+n\pi$。这里 $u=x-\frac\pi6$，所以令 $x-\frac\pi6=\frac\pi2$ 得到最小正渐近线。

The vertical asymptotes occur when

For the smallest positive value,

Therefore

相邻正切渐近线相差 $\pi$，所以 $b=a+\pi$。点 $P,Q$ 都在直线 $y=\pi-x$ 上，分别代入 $x=a,b$ 求坐标，再用中点公式。

The second smallest positive asymptote is

Since $P$ lies on $x=a$ and $y=\pi-x$,

Since $Q$ lies on $x=b$ and $y=\pi-x$,

The midpoint of $PQ$ is