题目

Problem

A curve $C$ has equation $y=f(x)$ , $x\in\mathbb{R}$ .

Figure 1

The curve $C$

cuts the $x$ -axis at $-1$
has a maximum turning point at $P(2,5)$
has a horizontal asymptote with equation $y=3$
has no other turning points or asymptotes.

(a) Find the coordinates of the point $P$ under the following transformations:

(i) $y=f(x)+7$

(ii) $y=3f(x)$

(2)

Given that the horizontal line with equation $y=k$ cuts or meets the curve $C$ exactly once,

(b) state the range of possible values of $k$ .

(2)

(1)

解答

(a)

解法一

思路

展开

点 $P(2,5)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上。

$y=f(x)+7$ 是整体向上平移 $7$ ，所以 $x$ 坐标不变， $y$ 坐标加 $7$ 。

$y=3f(x)$ 是竖直方向放大 $3$ 倍，所以 $x$ 坐标不变， $y$ 坐标乘 $3$ 。

答题过程

展开

For $y=f(x)+7$ , the point $P(2,5)$ becomes

\begin{align*} (2,5+7)=(2,12). \end{align*}

For $y=3f(x)$ , the point $P(2,5)$ becomes

\begin{align*} (2,3\times5)=(2,15). \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

水平线 $y=k$ 与曲线交点个数可从曲线高度判断。曲线有最高转折点 $y=5$ ，水平渐近线是 $y=3$ ，且只有一个转折点。

当 $k\leq3$ 时，水平线只会与曲线其中一支相交一次；当 $k=5$ 时，水平线在最大点处与曲线相切，也只接触一次。

答题过程

展开

The horizontal asymptote is

\begin{align*} y=3. \end{align*}

So for any horizontal line at or below this level, the line cuts the curve exactly once:

\begin{align*} k\leq3. \end{align*}

The maximum turning point is $P(2,5)$ , so the horizontal line

\begin{align*} y=5 \end{align*}

meets the curve exactly once at $P$ .

Therefore

\begin{align*} k\leq3\quad\text{or}\quad k=5. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

$f(x)=0$ 的解是 $x=-1$ 。现在要求 $f(x+4)=0$ ，所以让括号里的 $x+4$ 等于原来的根 $-1$ 。

答题过程

展开

Since $f(x)=0$ when $x=-1$ , for $f(x+4)=0$ we need

\begin{align*} x+4=&\,-1\\ x=&\,-5. \end{align*}

IAL 2025 May A Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程