题目

Problem

Figure 1 shows a sketch of part of the curve with equation

Figure 1

\begin{align*} y=4\cos x \end{align*}

where $x$ is measured in degrees.

The points $P$ and $Q$ lie on the curve and are shown in Figure 1.

(a) State the coordinates of $P$ .

(1)

(b) State the coordinates of $Q$ .

(2)

(i) $4\cos x=3$ in the interval $0<x\leq18000^\circ$

(ii) $5+4\cos x=1$ in the interval $-720^\circ<x\leq720^\circ$

(iii) $4\cos x-3=1$ in the interval $-1080^\circ\leq x\leq1080^\circ$ .

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

$y=4\cos x$ 在 $x=270^\circ$ 时穿过 $x$ 轴，图中的 $P$ 是这个点。

答题过程

展开

At $P$ ,

\begin{align*} x=270^\circ,\qquad y=0. \end{align*}

\begin{align*} P=(270^\circ,0). \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

$Q$ 是左侧的最低点。余弦曲线在 $x=-180^\circ$ 时取最小值， $y=-4$ 。

答题过程

展开

At $Q$ ,

\begin{align*} x=-180^\circ,\qquad y=-4. \end{align*}

\begin{align*} Q=(-180^\circ,-4). \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

$y=4\cos x$ 的周期是 $360^\circ$ 。不在最高或最低点的水平线通常每个周期有两个交点；若刚好是最高或最低点，每个周期只有一个对应点。端点是否包含要单独看。

答题过程

展开

(i) The interval

\begin{align*} 0<x\leq18000^\circ \end{align*}

contains

\begin{align*} \frac{18000}{360}=50 \end{align*}

full periods. Since $4\cos x=3$ has two solutions in each period, the number of solutions is

\begin{align*} 50\times2=100. \end{align*}

(ii)

\begin{align*} 5+4\cos x=&\,1\\ 4\cos x=&\,-4\\ \cos x=&\,-1. \end{align*}

This happens at $x=180^\circ+360^\circ n$ . In

\begin{align*} -720^\circ<x\leq720^\circ, \end{align*}

there are $4$ such values. So the number of solutions is

\begin{align*} 4. \end{align*}

(iii)

\begin{align*} 4\cos x-3=&\,1\\ 4\cos x=&\,4\\ \cos x=&\,1. \end{align*}

This happens at $x=360^\circ n$ . In

\begin{align*} -1080^\circ\leq x\leq1080^\circ, \end{align*}

there are $7$ such values. So the number of solutions is

\begin{align*} 7. \end{align*}

IAL 2025 May Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程