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IAL 2025 Oct Q2

A Level / Edexcel / P1

IAL 2025 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

Find

∫(x−3)2(2x+5) dx\begin{align*} \int (x-3)^2(2x+5)\,\mathrm{d}x \end{align*}

writing the answer in simplest form.

(5)

解答

解法一

思路

展开

先把三个因式展开成多项式，再逐项积分。这里不要急着积分，因为 (x−3)2(2x+5)(x-3)^2(2x+5) 直接积分并不方便。

答题过程

展开

First expand:

(x−3)2(2x+5)= (x2−6x+9)(2x+5)= 2x3+5x2−12x2−30x+18x+45= 2x3−7x2−12x+45.\begin{align*} (x-3)^2(2x+5) =&\,(x^2-6x+9)(2x+5)\\ =&\,2x^3+5x^2-12x^2-30x+18x+45\\ =&\,2x^3-7x^2-12x+45. \end{align*}

Therefore

∫(x−3)2(2x+5) dx= ∫(2x3−7x2−12x+45) dx= 12x4−73x3−6x2+45x+c.\begin{align*} \int (x-3)^2(2x+5)\,\mathrm{d}x =&\,\int(2x^3-7x^2-12x+45)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\frac12x^4-\frac73x^3-6x^2+45x+c. \end{align*}