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IAL 2026 Jan A Q1

A Level / Edexcel / P1

IAL 2026 Jan A Paper · Question 1

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

Find the set of values of xx for which

(a) 4(x−5)<2x−94(x-5)<2x-9

(2)

(b) x(2x−5)⩽63x(2x-5)\leqslant63

(3)

(c) 4(x−5)<2x−94(x-5)<2x-9 and x(2x−5)⩽63x(2x-5)\leqslant63

(1)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先展开括号，再把含 xx 的项放到同一边。这里只除以正数，所以不等号方向不会改变。

答题过程

展开 4(x−5)<2x−94x−20<2x−92x<11x<112\begin{align*} 4(x-5)&<2x-9\\ 4x-20&<2x-9\\ 2x&<11\\ x&<\frac{11}{2} \end{align*}

Therefore

x<112\begin{align*} x<\frac{11}{2} \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先把二次不等式整理成一边为 00，再因式分解找临界值。由于二次项系数为正，抛物线开口向上，所以小于等于 00 的部分在两个根之间。

答题过程

展开 x(2x−5)⩽632x2−5x−63⩽0\begin{align*} x(2x-5)&\leqslant63\\ 2x^2-5x-63&\leqslant0 \end{align*}

Factorise the quadratic:

2x2−5x−63= (2x+9)(x−7)\begin{align*} 2x^2-5x-63 =&\,(2x+9)(x-7) \end{align*}

So

(2x+9)(x−7)⩽0\begin{align*} (2x+9)(x-7)&\leqslant0 \end{align*}

The critical values are

2x+9=0⇒x=−92,x−7=0⇒x=7.\begin{align*} 2x+9=0&\Rightarrow x=-\frac92,\\ x-7=0&\Rightarrow x=7. \end{align*}

Since the quadratic is less than or equal to zero between its roots,

−92⩽x⩽7\begin{align*} -\frac92\leqslant x\leqslant7 \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

这里要同时满足 (a) 和 (b)，所以取两个答案区间的交集。

答题过程

展开

From part (a),

x<112.\begin{align*} x<\frac{11}{2}. \end{align*}

From part (b),

−92⩽x⩽7.\begin{align*} -\frac92\leqslant x\leqslant7. \end{align*}

Therefore the common set of values is

−92⩽x<112.\begin{align*} -\frac92\leqslant x<\frac{11}{2}. \end{align*}