题目

Problem

\begin{align*} y=4x^3+\frac{3}{2\sqrt{x}}-8, \qquad x>0 \end{align*}

Find, in simplest form,

(a) $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

(3)

(b) $\displaystyle\int y\,\mathrm{d}x$

(3)

解答

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先把根式写成指数形式： $\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ 。这样就可以直接使用幂函数求导公式。

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Rewrite $y$ as

\begin{align*} y=4x^3+\frac32x^{-1/2}-8 \end{align*}

Differentiate term by term:

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} ={}& 12x^2+\frac32\left(-\frac12\right)x^{-3/2}\\[3mm] ={}& 12x^2-\frac34x^{-3/2} \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 12x^2-\frac{3}{4x^{3/2}} \end{align*}

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积分同样先使用指数形式。注意不定积分最后必须写常数 $+C$ 。

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\begin{align*} \int y\,\mathrm{d}x =&\, \int \left(4x^3+\frac32x^{-1/2}-8\right) \,\mathrm{d}x\\[3mm] =&\, x^4+3x^{1/2}-8x+C \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \int y\,\mathrm{d}x = x^4+3\sqrt{x}-8x+C \end{align*}