圆 $C$ 的圆心为 $X(3, 5)$，半径为 $r$。 直线 $l$ 的方程为 $y = 2x + k$，其中 $k$ 为常数。

(a) 证明：直线 $l$ 与圆 $C$ 相交的交点 $x$ 坐标满足方程： $5x^2 + (4k - 26)x + k^2 - 10k + 34 - r^2 = 0$ (3)

已知 $l$ 是圆 $C$ 的一条切线，

(b) 证明 $5r^2 = (k + p)^2$，其中 $p$ 是一个待求的常数。 (3)

直线 $l$

• 与 $y$ 轴交于点 $A$
• 与圆 $C$ 相切于点 $B$

如图 2 所示。

已知线段长度 $AB = 2r$，

(c) 求出 $k$ 的值。 (6)

首先利用圆心坐标 $X(3, 5)$ 和半径 $r$ 写出圆 $C$ 的标准方程： $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = r^2$

为了求交点，我们将直线方程 $y = 2x + k$ 代入到圆方程中消去 $y$： $(x - 3)^2 + (2x + k - 5)^2 = r^2$ 分别展开这两项，并整理成关于 $x$ 的一元二次方程形式：

1. 展开第一项：$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$
2. 展开第二项：将其视为 $[2x + (k - 5)]^2 = 4x^2 + 4(k - 5)x + (k - 5)^2 = 4x^2 + (4k - 20)x + (k^2 - 10k + 25)$
3. 两部分合并相加并令右侧为 $0$，即可得到待证的一元二次方程。

The standard equation of a circle with centre $X(3, 5)$ and radius $r$ is:

$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = r^2$

Substitute the equation of the line $l: y = 2x + k$ into the circle equation:

$(x - 3)^2 + (2x + k - 5)^2 = r^2$

Expand each term:

$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$

Sum the expanded terms:

$\left( x^2 - 6x + 9 \right) + \left( 4x^2 + (4k - 20)x + k^2 - 10k + 25 \right) = r^2$

Combine like terms:

$(1 + 4)x^2 + (-6 + 4k - 20)x + k^2 - 10k + 9 + 25 - r^2 = 0$

$5x^2 + (4k - 26)x + k^2 - 10k + 34 - r^2 = 0$

This matches the printed equation.

因为直线 $l$ 是圆 $C$ 的切线（Tangent），所以在几何上它们只有一个公共交点。 这意味着联立后关于 $x$ 的一元二次方程： $5x^2 + (4k - 26)x + k^2 - 10k + 34 - r^2 = 0$ 有且仅有一个重根（唯一实数解）。 所以，该一元二次方程的判别式（Discriminant）必须等于零，即： $\Delta = B^2 - 4AC = 0$ 其中：

• $A = 5$
• $B = 4k - 26$
• $C = k^2 - 10k + 34 - r^2$

代入并展开这个判别式方程： $(4k - 26)^2 - 4 \times 5 \times (k^2 - 10k + 34 - r^2) = 0$ 展开并合并同类项，然后整理出 $5r^2 = (k + p)^2$ 的形式，确定常数 $p$ 的值。

Since the line $l$ is a tangent to the circle $C$, the quadratic equation from part (a) must have exactly one real solution. Thus, its discriminant must be zero:

$\Delta = b^2 - 4ac = 0$

Identify the coefficients:

• $a = 5$
• $b = 4k - 26$
• $c = k^2 - 10k + 34 - r^2$

Set the discriminant to $0$:

$(4k - 26)^2 - 4(5)\left( k^2 - 10k + 34 - r^2 \right) = 0$

Expand both terms:

$(4k - 26)^2 = 16k^2 - 208k + 676$

$20\left( k^2 - 10k + 34 - r^2 \right) = 20k^2 - 200k + 680 - 20r^2$

Subtract the second expression from the first:

$\left( 16k^2 - 208k + 676 \right) - \left( 20k^2 - 200k + 680 - 20r^2 \right) = 0$

$-4k^2 - 8k - 4 + 20r^2 = 0$

Move $20r^2$ to the other side:

$20r^2 = 4k^2 + 8k + 4$

Divide the entire equation by $4$:

$5r^2 = k^2 + 2k + 1$

Factorize the quadratic on the right-hand side:

$5r^2 = (k + 1)^2$

This is in the form $5r^2 = (k + p)^2$ with $p = 1$.

由几何关系，切点 $B$ 处半径与切线垂直，即圆心 $X$ 到切点 $B$ 的连线 $XB \perp AB$。 因此，三角形 $\triangle ABX$ 是一个以 $B$ 为直角的直角三角形。

• 直角边 $XB = r$ （圆的半径）
• 直角边 $AB = 2r$ （题目已知条件）
• 斜边为 $AX$

利用直角三角形的勾股定理（Pythagoras’ Theorem）： $AX^2 = XB^2 + AB^2 = r^2 + (2r)^2 = r^2 + 4r^2 = 5r^2$

根据第 (b) 问的结论，我们知道： $5r^2 = (k + 1)^2$ 所以： $AX^2 = (k + 1)^2$

接着，我们可以求出点 $A$ 的坐标： 因为直线 $l$ 的方程是 $y = 2x + k$，点 $A$ 是直线与 $y$ 轴的交点，令 $x = 0$ 得到 $y = k$。 因此点 $A$ 的坐标为 $(0, k)$。

又已知圆心为 $X(3, 5)$。利用两点距离公式求出斜边平方 $AX^2$： $AX^2 = (x_X - x_A)^2 + (y_X - y_A)^2 = (3 - 0)^2 + (5 - k)^2 = 9 + (k - 5)^2$

建立方程： $(k + 1)^2 = 9 + (k - 5)^2$ 展开并解出 $k$ 的值即可。

Since the line $l$ is tangent to the circle $C$ at point $B$, the radius $XB$ is perpendicular to the tangent line at $B$. Thus, $\triangle ABX$ is a right-angled triangle with $\angle ABX = 90^\circ$.

Using Pythagoras’ theorem:

$AX^2 = XB^2 + AB^2$

Given $XB = r$ and $AB = 2r$:

$AX^2 = r^2 + (2r)^2 = 5r^2$

From part (b), we know $5r^2 = (k + 1)^2$. Therefore:

$AX^2 = (k + 1)^2 \quad \text{--- (Equation 1)}$

Point $A$ is the intersection of line $l: y = 2x + k$ with the $y$-axis, so its coordinates are:

$A(0, k)$

The centre of the circle is $X(3, 5)$. Use the distance formula to express $AX^2$:

Equate Equation 1 and Equation 2:

$(k + 1)^2 = k^2 - 10k + 34$

$k^2 + 2k + 1 = k^2 - 10k + 34$

Eliminate $k^2$ from both sides:

$2k + 1 = -10k + 34$

$12k = 33$

$k = \frac{33}{12} = \frac{11}{4} = 2.75$

我们也可以用代数消元法来做。 因为 $l$ 与圆相切，根据 (a) 问的方程： $5x^2 + (4k - 26)x + k^2 - 10k + 34 - r^2 = 0$ 它是一个只有一个实根的二次方程，因此切点 $B$ 的 $x$ 坐标就是这个方程的重根： $x_B = -\frac{B}{2A} = -\frac{4k - 26}{2 \times 5} = \frac{26 - 4k}{10} = \frac{13 - 2k}{5}$

由于 $B$ 落在直线 $y = 2x + k$ 上，其 $y$ 坐标为： $y_B = 2x_B + k = 2\left(\frac{13 - 2k}{5}\right) + k = \frac{26 - 4k + 5k}{5} = \frac{26 + k}{5}$

点 $A$ 的坐标为 $(0, k)$。利用距离公式写出 $AB^2$（即切线段长度的平方）： $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = \left(\frac{13-2k}{5} - 0\right)^2 + \left(\frac{26+k}{5} - k\right)^2$ 简化后得到关于 $k$ 的表达式。 因为已知条件为 $AB = 2r \implies AB^2 = 4r^2$。 又从 (b) 问中已知 $r^2 = \frac{(k+1)^2}{5}$，我们可以将 $AB^2 = 4r^2$ 改写为： $AB^2 = \frac{4(k+1)^2}{5}$ 两边联立并消去分母，可以解出 $k$。这种纯代数法不依赖几何直觉，也是一种非常标准的方法。

Since $B$ is the point of contact, its $x$-coordinate $x_B$ is the unique double root of the quadratic equation from (a):

$x_B = -\frac{b}{2a} = -\frac{4k - 26}{2 \times 5} = \frac{26 - 4k}{10} = \frac{13 - 2k}{5}$

Substitute $x_B$ into the line equation to find $y_B$:

$y_B = 2x_B + k = 2\left( \frac{13 - 2k}{5} \right) + k = \frac{26 + k}{5}$

The coordinates of $A$ are $(0, k)$. Calculate the squared distance $AB^2$:

Given $AB = 2r \implies AB^2 = 4r^2$. From part (b), we have $r^2 = \frac{(k + 1)^2}{5}$, so:

$AB^2 = \frac{4(k + 1)^2}{5}$

Equate the two expressions for $AB^2$:

$\frac{(13 - 2k)^2}{5} = \frac{4(k + 1)^2}{5}$

Multiply by $5$ and take the square root of both sides:

$13 - 2k = \pm 2(k + 1)$

Solve the two linear equations:

• Case A: $13 - 2k = 2(k + 1) \implies 13 - 2k = 2k + 2 \implies 4k = 11 \implies k = 2.75$

• Case B: $13 - 2k = -2(k + 1) \implies 13 - 2k = -2k - 2 \implies 13 = -2 \quad \text{(no solution)}$

Thus, the value of $k$ is $2.75$.