(i) 说明以下陈述是错误的： “对于所有自然数 $n \in \mathbb{N}$，$(n + 1)^3 - n^3$ 均为质数（素数）。” (2)

(ii) 已知点 $A(1, 0)$，$B(3, -10)$ 和 $C(7, -6)$ 都在同一个圆上，证明线段 $AB$ 是该圆的一条直径。 (5)

要证明一个命题是错误的（Show the statement is false），最直接的方法是找到一个反例（Find a counterexample），即找到一个自然数 $n \in \mathbb{N}$，使得代入后计算得到的数不是质数。 我们可以从小到大代入一些自然数进行验证：

• 当 $n = 1$ 时：$(1+1)^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$ （是质数）
• 当 $n = 2$ 时：$(2+1)^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19$ （是质数）
• 当 $n = 3$ 时：$(3+1)^3 - 3^3 = 64 - 27 = 37$ （是质数）
• 当 $n = 4$ 时：$(4+1)^3 - 4^3 = 125 - 64 = 61$ （是质数）
• 当 $n = 5$ 时：$(5+1)^3 - 5^3 = 216 - 125 = 91$

计算得到 $91$。我们需要检查 $91$ 是否是质数。 因为 $91 = 7 \times 13$，所以它是一个合数（不是质数）。 这便是一个合法的反例，证明了原命题是错误的。

To prove the statement is false, we can find a single counterexample.

Let $n = 5$:

Since $91$ is not prime (as $91 = 7 \times 13$), the statement is false.

(Note: Another possible counterexample is $n = 7$, which gives $8^3 - 7^3 = 169 = 13 \times 13$.)

这里我们可以运用圆的几何性质。 若线段 $AB$ 是直径，且点 $C$ 落在该圆上，那么由“半圆上的圆周角是直角（Angle in a semicircle is a right angle）”定理，三角形 $\triangle ACB$ 必须是直角三角形，其中斜边为 $AB$，直角在 $C$ 处。也就是说，线段 $AC$ 与 $BC$ 互相垂直。

我们可以利用斜率公式计算 $AC$ 和 $BC$ 的斜率：

• $m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A}$
• $m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}$

若满足两斜率之积 $m_{AC} \times m_{BC} = -1$，则说明线段 $AC \perp BC$。 这意味着 $\angle ACB = 90^\circ$。 既然圆周上一点 $C$ 对应的圆周角 $\angle ACB = 90^\circ$，其所对的弦 $AB$ 必定是该圆的直径。这个证明逻辑在考场上最简单、最快。

Calculate the gradient of the line segment $AC$ (denoted as $m_{AC}$):

Calculate the gradient of the line segment $BC$ (denoted as $m_{BC}$):

Compute the product of the gradients:

Since the product of the gradients is $-1$, the lines $AC$ and $BC$ are perpendicular to each other, which means:

$\angle ACB = 90^\circ$

Since the angle subtended by the chord $AB$ at point $C$ on the circumference is $90^\circ$, by the converse of the angle in a semicircle theorem, the chord $AB$ must be a diameter of the circle.

如果 $AB$ 是直径，那么其中点 $M$ 必然是该圆的圆心。 我们可以首先求出 $AB$ 的中点坐标 $M$：

接下来计算 $M$ 到端点 $A$ 的距离的平方（即半径平方 $r^2$）：

如果点 $C$ 也落在以 $M$ 为圆心、 $AB$ 为直径的圆上，那么 $M$ 到 $C$ 的距离的平方 $MC^2$ 必须也等于 $r^2$：

只要验证出 $MA^2 = MC^2$（或 $MA = MB = MC$），就说明 $A, B, C$ 三点都在以 $M$ 为圆心、半径为 $MA$ 的圆上。因此，$AB$ 作为通过圆心 $M$ 且两端连接圆周点 $A, B$ 的线段，必定是圆的直径。

Find the midpoint $M$ of the line segment $AB$:

Find the squared distance from the midpoint $M(2, -5)$ to point $A(1, 0)$:

Find the squared distance from the midpoint $M(2, -5)$ to point $C(7, -6)$:

Since $MA^2 = MC^2 = 26$ (and by symmetry, $MB^2 = 26$), the points $A$, $B$, and $C$ are all at an equal distance of $\sqrt{26}$ from the point $M(2, -5)$.

Therefore, $M(2, -5)$ is the center of the circle passing through $A$, $B$, and $C$. Since $M$ is the midpoint of $AB$, the line segment $AB$ passes through the center of the circle, proving that $AB$ is a diameter of the circle.