科学家正在使用碳-14 测年法来确定一些木制物品的年龄。

碳-14 测年的方程为： $N = k\lambda^t$ 其中：

• 目前木制品中含有的碳-14 质量为 $N$ 克
• 初始时木制品中含有的碳-14 质量为 $k$ 克
• $t$ 是物品制成至今的年数（年龄）
• $\lambda$ 是常数，且 $0 < \lambda < 1$

(a) 当 $k = 1$ 时，画出 $N$ 随时间 $t$ 变化的函数图象草图。 (2)

(b) 已知碳-14 的质量减少到其初始值的一半需要 5700 年（即半衰期），证明常数 $\lambda$ 的值保留 6 位小数为 $0.999878$。 (2)

(c) 已知物品 A 初始含有 15 克碳-14，且估计其年龄为 3250 年。计算方程预测当前物品 A 中剩余的碳-14 质量，结果保留 3 位有效数字。 (2)

(d) 已知物品 B 初始含有 25 克碳-14，当前仅剩 18 克。利用代数方法计算物品 B 的年龄，结果精确到最近的 100 年。 (3)

我们需要画出当 $k = 1$ 时 $N = \lambda^t$ 对自变量 $t$ 的函数图象（其中 $t \geqslant 0$）：

1. 分析图形特征： 因为常数满足 $0 < \lambda < 1$，这是一个典型的指数衰减函数（Exponential decay function）。
2. 确定关键点和极限行为：
   • 纵截距（Vertical Intercept）：当 $t = 0$ 时，$N = \lambda^0 = 1$。因此图象与纵轴交于点 $(0, 1)$。
   • 单调性：由于底数 $\lambda \in (0, 1)$，随着 $t$ 增大，$N$ 呈递减趋势，曲线平滑向下弯曲。
   • 渐近线（Asymptote）：当 $t \to \infty$ 时，$N \to 0$。因此 $t$ 轴（即 $N = 0$）是其水平渐近线。
3. 绘图说明：
   • 纵轴为 $N$，横轴为 $t$。
   • 曲线从第一象限向下平滑倾斜，经过纵轴上的点 $1$（或点 $(0, 1)$），并以 $t$ 轴为渐近线无限趋近，但不穿过 $t$ 轴。

Since $k = 1$, the equation is $N = \lambda^t$. Given $0 < \lambda < 1$, this represents an exponential decay graph.

The key features of the sketch are:

1. Shape: A smooth, continuously decreasing curve in the first quadrant that curves downwards towards the horizontal axis.
2. Vertical intercept: The curve starts or passes through $(0, 1)$ on the positive vertical axis (labeled $1$ on the $N$-axis).
3. Asymptotic behaviour: The horizontal axis (the $t$-axis where $N = 0$) is a horizontal asymptote. The curve approaches $N = 0$ as $t$ increases.

 N
 ^
 | 
1*
 | \
 |   \
 |     \__
 |        \___
 |            \_______
 +-------------------------> t
 O (Asymptote N = 0)

根据半衰期（Half-life）的定义：当 $t = 5700$ 时，剩余的碳-14 质量 $N$ 减少为初始质量 $k$ 的一半，即： $N = \frac{1}{2}k$ 代入方程 $N = k \lambda^t$： $\frac{1}{2}k = k \lambda^{5700}$ 因为初始质量 $k > 0$，两边同时约去 $k$： $\lambda^{5700} = 0.5$ 求 $\lambda$ 的值，两边同时求 $5700$ 次方根（或者在两边取对数后计算）： $\lambda = (0.5)^{\frac{1}{5700}}$ 计算其值并保留 6 位小数，验证是否符合 $0.999878$。

Since it takes 5700 years for the amount of carbon-14 to reduce to half its initial value:

$N = \frac{1}{2}k \quad \text{when} \quad t = 5700$

Substitute these into the formula $N = k\lambda^t$:

$\frac{1}{2}k = k\lambda^{5700}$

Divide both sides by $k$ (since $k > 0$):

$\lambda^{5700} = 0.5$

Take the $5700$-th root of both sides:

$\lambda = (0.5)^{\frac{1}{5700}}$

Calculate using the calculator:

$\lambda \approx 0.9998784026...$

Rounding to 6 decimal places:

$\lambda \approx 0.999878$

对于物品 A，已知条件为：

• 初始量 $k = 15$ 克
• 时间 $t = 3250$ 年
• 常数 $\lambda = 0.999878$（或使用计算器中更精确的值）

代入公式 $N = k\lambda^t$： $N = 15 \times (0.999878)^{3250}$ 利用计算器计算结果并保留 3 位有效数字。

For Item A, we are given:

• $k = 15$
• $t = 3250$
• $\lambda = 0.999878$

Substitute these values into $N = k\lambda^t$:

Rounding to 3 significant figures:

$N \approx 10.1\text{ grams}$

(Note: Using the more accurate value $\lambda = 0.5^{1/5700}$ yields $15 \times 0.67352... \approx 10.1$ grams.)

对于物品 B，已知条件为：

• 初始量 $k = 25$ 克
• 剩余量 $N = 18$ 克
• 常数 $\lambda = 0.999878$（使用题目给出的值）

我们需要求解时间 $t$。代入公式列出方程： $18 = 25 \times (0.999878)^t$

1. 分离指数项： 两边同除以 $25$： $(0.999878)^t = \frac{18}{25} = 0.72$
2. 利用对数求解未知指数： 两边取常用对数或自然对数： $\ln(0.999878^t) = \ln(0.72) \implies t \ln(0.999878) = \ln(0.72)$ 或者直接写为： $t = \log_{0.999878}(0.72)$
3. 计算结果： $t = \frac{\ln(0.72)}{\ln(0.999878)}$ 算出 $t$ 的具体数值，并将其四舍五入到最接近的 100 年（nearest 100 years）。

For Item B, we are given:

• $k = 25$
• $N = 18$
• $\lambda = 0.999878$

Substitute these into $N = k\lambda^t$:

$18 = 25 \times (0.999878)^t$

Divide both sides by $25$:

$(0.999878)^t = \frac{18}{25} = 0.72$

Take natural logarithms on both sides:

$\ln\left( (0.999878)^t \right) = \ln(0.72)$

Apply the power law of logarithms:

$t \ln(0.999878) = \ln(0.72)$

Solve for $t$:

Rounding to the nearest 100 years:

$t \approx 2700\text{ years}$

(Note: Using the more accurate value $\lambda = 0.5^{1/5700}$ yields $t = \frac{\ln(0.72)}{\ln(0.5^{1/5700})} \approx 2701.4$ years, which also rounds to $2700$ years.)