本题直接将项数 $n = 1, 2, 3$ 分别代入已知递推公式中，利用三角函数的特殊角值进行计算，并平方得到结果。 注意：这里的自变量是弧度制（radians）。

• 对于 $n=1$：$\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}$。
• 对于 $n=2$：$\cos(2\pi/3) = -\frac{1}{2}$。
• 对于 $n=3$：$\cos(\pi) = -1$。

(i) For $n = 1$:

(ii) For $n = 2$:

(iii) For $n = 3$:

根据求和性质，我们可以将原求和式拆分为两个独立的部分进行求和：

1. 第一部分：$\sum_{n=1}^{50} n$ 这是一个首项为 1、末项为 50、公差为 1 的等差数列（Arithmetic Progression）。 我们可以直接使用等差数列前 $N$ 项和公式：

   $$S_N = \frac{N(a + L)}{2} = \frac{50(1 + 50)}{2} = 1275$$

2. 第二部分：$\sum_{n=1}^{50} \cos^2\left(\frac{n\pi}{3}\right)$（即 $\sum_{n=1}^{50} a_n$） 通过 (a) 中的计算，我们发现这个数列具有周期性（Periodic sequence），周期为 3。 其循环的数值序列为：$\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}, 1, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}, 1, \dots$ 每一周期（3 项）的和为：

   $$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{2}$$

   求和区间从 $n=1$到 $n=50$，共有 50 项。因为 $50 = 16 \times 3 + 2$，所以这 50 项包含 16 个完整的周期，外加最后余下的 2 项（这 2 项对应下一周期的前两项，即 $a_{49} = \dfrac{1}{4}$，$a_{50} = \dfrac{1}{4}$）。 所以第二部分的和为：

   $$16 \times \frac{3}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 24 + \frac{1}{2} = 24.5 = \frac{49}{2}$$

3. 两部分相加得到最终答案。

We can split the summation into two parts:

Part 1: Evaluating $\sum_{n=1}^{50} n$

This is the sum of an arithmetic progression with first term $1$, last term $50$, and $50$ terms:

Part 2: Evaluating $\sum_{n=1}^{50} \cos^2\left(\frac{n\pi}{3}\right)$

Let $a_n = \cos^2\left(\frac{n\pi}{3}\right)$. From part (a), the sequence is periodic with a period of 3:

The sum of terms in one complete cycle of 3 terms is:

For $50$ terms, we have:

This means there are $16$ complete cycles and $2$ extra terms ($a_{49}$ and $a_{50}$):

Total Summation

Adding the two parts together: